Modèle de l'hyperboloïde

Si x = (x₀, x₁, …, x_n) est un élément de l'espace Rⁿ⁺¹, la forme quadratique de Minkowski est définie par :

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}}$ 

Les points x∈ Rⁿ⁺¹ tel que Q(x) = 1 forment un hyperboloïde S de dimension n constitué de deux composantes connexes, ou feuilles : la feuille avant, ou future, S⁺, où x₀>0 et la feuille arrière, ou passée, S⁻, où x₀<0. Les points du modèle de l'hyperboloïde de dimension n sont les points appartenant à la feuille S⁺.

La forme bilinéaire de Minkowski B (qui n'est pas un produit scalaire) est la polarisation de la forme quadratique de Minkowski Q :

${\displaystyle B(x,y)={\dfrac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}}$ 

Explicitement,

${\displaystyle B(x,y)=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}}$ .

La distance hyperbolique entre deux points x et y de S⁺ est donnée par la formule :

${\displaystyle d(x,y)=\cosh ^{-1}(B(x,y))}$ 

Les droites hyperboliques sont représentées dans le modèle de l'hyperboloïde par des hyperboles, intersections de l'hyperboloïde avec des plans passant par l'origine.

Le plan tangent en x à l'hyperboloïde est le noyau de la forme linéaire :

${\displaystyle x_{0}\mathrm {d} x_{0}-x_{1}\mathrm {d} x_{1}-\ldots -x_{n}\mathrm {d} x_{n}=0}$ .

Les formes linéaires ${\displaystyle \mathrm {d} u_{0}}$ , ..., ${\displaystyle \mathrm {d} u_{n}}$  étant liées par cette relation, la métrique locale de ce plan tangent est donnée par :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {d} x_{n}^{2}-\mathrm {d} x_{0}^{2}}$ 

On passe du modèle de l'hyperboloïde à un modèle sur une boule unité de deux façons possibles :

• Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan ${\displaystyle x_{0}=1}$  à partir de l'origine du repère et on obtient le modèle de Klein. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des segments.
• Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan ${\displaystyle x_{0}=0}$  à partir du point (-1, 0, ..., 0) et on obtient le disque de Poincaré. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des arcs de cercles.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperboloid model » (voir la liste des auteurs).

• (en) D. V. Alekseevskij, E. B. Vinberg et A. S. Solodovnikov, Geometry of Spaces of Constant Curvature, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Encyclopaedia of Mathematical Sciences », 1993 (ISBN 3-540-52000-7)
• (en) James Anderson, Hyperbolic Geometry, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Springer Undergraduate Mathematics Series », 2005, 2^e éd., 276 p. (ISBN 978-1-85233-934-0, lire en ligne)
• John G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York, Springer Verlag, 1994, 747 p. (ISBN 978-0-387-94348-0, lire en ligne), chap. 3
• (en) William F. Reynolds, « Hyperbolic geometry on a hyperboloid », American Mathematical Monthly,‎ 1993, 100:442–55
• (en) Patrick J. Ryan, Euclidean and non-Euclidean geometry : An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 0-521-25654-2)
• (en) V. Varićak, « On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 21,‎ 1912, p. 103–127
• (en) Scott Walter, The Symbolic Universe : Geometry and Physics, Oxford University Press, 1999, 91–127 p. (lire en ligne)

• Disque de Poincaré
• Quaternion hyperbolique

•   Portail de la géométrie