Fonction de Morse

Soit ${\displaystyle f}$  une fonction numérique de classe au moins ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$  définie soit sur un ouvert ${\displaystyle U}$  de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  soit sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ .

Définitions :

• Un point ${\displaystyle x}$  du domaine de ${\displaystyle f}$  est dit être un point critique de la fonction ${\displaystyle f}$  si la différentielle de ${\displaystyle f}$  est nulle en ${\displaystyle x}$ , i.e. si ${\displaystyle \mathrm {d} f|_{x}=0}$ .
• Un point critique ${\displaystyle x}$  de ${\displaystyle f}$  est dit non dégénéré si la hessienne de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle x}$  est non dégénérée.
• La fonction ${\displaystyle f}$  est dite fonction de Morse si ses points critiques sont tous non dégénérés.
• L'indice de Morse ${\displaystyle \mathrm {ind} (x)}$  d'un point critique ${\displaystyle x}$  d'une fonction de Morse ${\displaystyle f}$  est le nombre de valeurs propres négatives de la hessienne de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle x}$ .

En vertu du lemme de Morse, autour de tout point critique ${\displaystyle x}$  d'une fonction de Morse ${\displaystyle f}$ , il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle U}$  de ${\displaystyle x}$  et un système de coordonnées locales ${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1,...,n}}$  sur ${\displaystyle U}$  tel que pour tout ${\displaystyle y\in U}$  on ait :

${\displaystyle f(y)=f(x)-\sum _{i=1}^{\mathrm {ind} (x)}y_{i}^{2}+\sum _{i=\mathrm {ind} (x)+1}^{n}y_{i}^{2}}$ 

Ceci implique, en particulier, que les points critiques d'une fonction de Morse sont des points isolés.

Sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ , il existe une panoplie de fonctions de Morse. En effet, l'ensemble des fonctions de Morse lisses sur ${\displaystyle M}$  forme un sous-ensemble ouvert et dense dans l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$  des fonctions réelles lisses sur ${\displaystyle M}$ ^[2].

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