Droite de Newton
La droite de Newton est une droite reliant trois points particuliers liés à un quadrilatère plan qui n'est pas un parallélogramme.
La droite de Newton intervient naturellement dans l'étude du lieu des centres d'un faisceau tangentiel de coniques ; ce vocable désigne l'ensemble des coniques inscrites dans un quadrilatère donné.
Dans un quadrilatère convexe
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La droite de Newton dans un quadrilatère convexe (ABCD), qui n'est pas un parallélogramme, est la droite qui relie les milieux E et F des diagonales du quadrilatère.
Cette droite contient aussi le point d'intersection K de ses bimédianes (GH) et (IJ) (les droites reliant les milieux des côtés opposés). De plus K est le milieu du segment [EF].
Si le quadrilatère admet un cercle inscrit, le centre de ce cercle est également sur la droite.
D'après le théorème de Pierre-Leon Anne, quel que soit le point P intérieur au quadrilatère (ABCD) qui est sur la droite de Newton du quadrilatère :
Dans un triangle
modifierDans un triangle, une ménélienne est une droite ne passant par aucun des sommets.
Dans un triangle ABC, une ménélienne (d), qui n'est parallèle à aucun des côtés, rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.
Soient I, J et K les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR].
Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC associée à la transversale (d).
Les quatre droites (AB), (AC), (BC) et (d) définissent un quadrilatère complet, admettant pour sommets les six points A, B, C, P, Q et R.
Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet[1].
Références
modifier- (en) Cătălin Barbu et Ion Pătraṣcu, « Some Properties of the Newton-Gauss Line », Forum Geometricorum, vol. 12, , p. 149–152 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)
Bibliographie
modifier- Jean-Louis Ayme, « La droite de Newton - Une nouvelle preuve » [archive] [PDF]
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
- Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet (ISBN 978-2916352121)