Courbe de Sierpiński

Les courbes de Sierpiński sont une suite définie de manière récursive de courbes fractales planes continues fermées découverte par Wacław Sierpiński, qui, à la limite ${\displaystyle n\to \infty }$ remplissent complètement le carré unité : ainsi leur courbe limite, également appelée courbe de Sierpiński, est un exemple de courbe remplissante.

Parce que la courbe de Sierpiński remplit l'espace, sa dimension de Hausdorff (à la limite ${\displaystyle n\to \infty }$ ) est 2.

La longueur euclidienne de la courbe ${\displaystyle S_{n}}$ à l'itération n est

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{n}&={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}},\\&={\frac {2^{7/4}}{3}}\sinh \left(n\ln(2)+\mathrm {argsinh} \left({\frac {3}{2^{5/4}}}\right)\right)\end{aligned}}}$

c'est-à-dire qu'il croît de façon exponentielle avec ${\displaystyle n}$ au-delà de toute limite, alors que la limite pour ${\displaystyle n\to \infty }$ de la zone délimitée par ${\displaystyle S_{n}}$ est ${\displaystyle 5/12\,}$ celle du carré (en métrique euclidienne).