En géométrie, une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique .
Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on obtient un hémisphère .
Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides :
Dimensions d'une calotte sphérique Il existe plusieurs dimensions permettant de caractériser une calotte sphérique:
sa hauteur : h
le rayon de son cercle de base (c ): a
le rayon de la sphère d'origine (s ) : r
l'angle au centre entre le rayon passant par le pôle P de la calotte et un rayon passant par le cercle de base : θ La connaissance de deux de ces dimensions permet de déterminer, à une exception près, les deux autres :
h
a
r
θ
h
a
r
=
a
2
+
h
2
2
h
{\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}
θ
=
2
arctan
(
h
/
a
)
{\displaystyle \theta =2\arctan(h/a)}
h
a
=
h
(
2
r
−
h
)
{\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}
r
θ
=
versin
−
1
(
h
/
r
)
{\displaystyle \theta ={\textrm {versin}}^{-1}(h/r)}
[ 1]
h
=
r
versin
θ
=
r
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h&=r{\textrm {versin}}\theta \\&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}
a
=
r
sin
θ
{\displaystyle a=r\sin \theta }
r
θ
h
=
r
±
r
2
−
a
2
{\displaystyle h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
a
r
θ
=
arcsin
(
a
/
r
)
o
u
=
π
−
arcsin
(
a
/
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arcsin(a/r)\\&ou\\&=\pi -\arcsin(a/r)\end{aligned}}}
L'aire d'une calotte sphérique s'exprime, en fonction de ses dimensions, par les formules suivantes :
[ 2]
S
=
2
π
r
h
{\displaystyle S=2\pi rh}
[ 2]
S
=
π
(
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle S=\pi (a^{2}+h^{2})}
S
=
2
π
r
2
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle S=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}
On retrouve ici facilement l'aire d'un hémisphère
S
=
2
π
r
2
{\displaystyle S=2\pi r^{2}}
S
=
4
π
r
2
{\displaystyle S=4\pi r^{2}}
L'aire d'une calotte sphérique est liée à l'angle solide
Ω
{\displaystyle \Omega }
c ) par la formule :
S
=
r
2
Ω
{\displaystyle S=r^{2}\Omega }
Comme dans tout surface de révolution, le centre de gravité G d'une calotte sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP) Il est de plus situé au milieu de la flèche[ 3]
C'est la portion de boule découpée par un plan. Son volume est donné par les formules[ 4]
V
=
π
h
2
(
r
−
h
3
)
{\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right)}
V
=
π
6
(
3
a
2
+
h
2
)
h
{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}(3a^{2}+h^{2})h}
Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité G du segment sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Sa distance du pôle P est donnée par:
[ 5]
P
G
=
8
r
−
3
h
12
r
−
4
h
h
{\displaystyle PG={\frac {8r-3h}{12r-4h}}h}
P
G
=
4
a
2
+
h
2
6
a
2
+
2
h
2
h
{\displaystyle PG={\frac {4a^{2}+h^{2}}{6a^{2}+2h^{2}}}h}
Sa distance au centre est donc de :
C
G
=
r
−
8
r
−
3
h
12
r
−
4
h
h
=
3
4
(
2
r
−
h
)
2
3
r
−
h
{\displaystyle CG=r-{\frac {8r-3h}{12r-4h}}h={\frac {3}{4}}{\frac {(2r-h)^{2}}{3r-h}}}
Courbe engendrant, par rotation, la calotte sphérique En considérant que la surface s'obtient en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la portion de cercle d'équation
y
=
r
2
−
(
x
−
r
)
2
=
x
(
2
r
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {x(2r-x)}}}
0
≤
x
≤
h
,
{\displaystyle 0\leq x\leq h\,,}
surface de révolution
S
=
2
π
∫
0
h
f
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
.
{\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx\,.}
S
=
2
π
∫
0
h
2
r
x
−
x
2
r
2
2
r
x
−
x
2
d
x
=
2
π
∫
0
h
r
d
x
=
2
π
r
[
x
]
0
h
=
2
π
r
h
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx\\&=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}\\&=2\pi rh\end{aligned}}}
On peut aussi travailler en coordonnées sphériques (rayon, colatitude Φ, longitude φ) en intégrant l'élément de surface pour une sphère :
d
S
=
r
2
sin
ϕ
d
ϕ
d
φ
.
{\displaystyle dS=r^{2}\sin \phi d\phi d\varphi \,.}
S
=
∫
0
2
π
∫
0
θ
r
2
sin
ϕ
d
ϕ
d
φ
=
r
2
∫
0
2
π
d
φ
∫
0
θ
sin
ϕ
d
ϕ
=
2
π
r
2
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }r^{2}\sin \phi d\phi d\varphi \\&=r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\theta }\sin \phi d\phi \\&=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )\end{aligned}}}
Si on considère que le segment sphérique est engendré par la rotation du triangle curviligne O (0;0) H (h ,0) M (h , f (h )), on peut utiliser le calcul de volume d'un solide de révolution:
V
=
π
∫
0
h
f
2
(
x
)
d
x
=
π
∫
0
h
2
r
x
−
x
2
d
x
=
π
[
r
x
2
−
1
3
x
3
]
0
h
=
π
h
2
(
r
−
h
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{h}f^{2}(x)\,dx\\&=\pi \int _{0}^{h}2rx-x^{2}\,dx\\&=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}\\&=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right)\end{aligned}}}
Pour trouver l'abscisse du centre de gravité de la calotte sphérique engendrée par la rotation de la portion de cercle d'équation
y
=
r
2
−
(
x
−
r
)
2
=
x
(
2
r
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {x(2r-x)}}}
0
≤
x
≤
h
,
{\displaystyle 0\leq x\leq h\,,}
Mt de la calotte par rapport au plan d'équation x = 0
M
t
=
2
π
∫
0
h
x
f
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
.
{\displaystyle Mt=2\pi \int _{0}^{h}xf(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx\,.}
M
t
=
2
π
∫
0
h
x
2
r
x
−
x
2
r
2
2
r
x
−
x
2
d
x
=
2
π
∫
0
h
x
r
d
x
=
2
π
r
[
x
2
2
]
0
h
=
π
r
h
2
{\displaystyle {\begin{aligned}Mt&=2\pi \int _{0}^{h}x{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi \int _{0}^{h}xr\,dx\\&=2\pi r\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}\\&=\pi rh^{2}\end{aligned}}}
Le centre de gravité est bien à une distance du pôle O égale à :
O
G
=
M
t
S
=
π
r
h
2
2
π
r
h
=
1
2
h
{\displaystyle OG={\frac {Mt}{S}}={\frac {\pi rh^{2}}{2\pi rh}}={\frac {1}{2}}h}
Pour le centre de gravité du segment sphérique, on calcule le moment Mt du segment par rapport au plan d'équation x = 0[ 6]
M
t
=
π
∫
0
h
x
f
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle Mt=\pi \int _{0}^{h}xf^{2}(x)\,dx\,.}
M
t
=
π
∫
0
h
2
r
x
2
−
x
3
d
x
=
π
[
2
r
x
3
3
−
x
4
4
]
0
h
=
π
h
3
(
8
r
−
3
h
)
12
{\displaystyle {\begin{aligned}Mt&=\pi \int _{0}^{h}2rx^{2}-x^{3}\,dx\\&=\pi \left[2r{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{h}\\&=\pi {\frac {h^{3}(8r-3h)}{12}}\end{aligned}}}
Le centre de gravité du segment sphérique est alors à une distance du pôle O égale à :
O
G
=
M
t
V
=
h
3
(
8
r
−
3
h
)
12
h
2
(
r
−
h
/
3
)
=
8
r
−
3
h
12
r
−
4
h
h
{\displaystyle OG={\frac {Mt}{V}}={\frac {h^{3}(8r-3h)}{12h^{2}(r-h/3)}}={\frac {8r-3h}{12r-4h}}h}
↑ versin−1 est la fonction inverse de la fonction sinus verse
↑ a et b R. Gieck, Formulaire technique , Gieck Verlag, 1997
↑ Louis-Benjamin Francoeur, Traité élémentaire de mécanique , H.L. Perronneau, 1804 (lire en ligne ) ↑ R. Gieck, Formulaire technique , Gieck Verlag, 1997
↑ Francoeur 1804 , p. 71. ↑ Francoeur 1804 , p. 70.
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