Al-Kashi

Dans les années qui suivirent une éclipse de lune à laquelle il assista en 1406 à Kachan, al-Kashi rédigea plusieurs ouvrages astronomiques. Ses Khaqani zij (Tables du grand khan) furent dédiées à Shah Rukh ou au fils de celui-ci, Ulugh Beg, sultans de la dynastie timouride.

Ulugh Beg invita al-Kashi à Samarcande en 1420, année de l'ouverture de la médersa qui porte son nom. Al-Kashi y enseigna avec Qadi-zadeh Roumi, le professeur d'Ulugh Beg, et probablement Ulugh Beg lui-même.

Avant la construction de l'observatoire de Samarcande, les observations étaient réalisées à la médersa. Al-Kashi joua un rôle important dans la conception de l'observatoire, inauguré vers 1429, et de ses instruments d'astronomie.

Les travaux menés par Ulugh Beg, Qadi-zadeh Roumi, al-Kashi et quelque soixante autres savants aboutirent à la publication des Tables sultaniennes (Zij-é solTâni, en persan), parues en 1437 mais améliorées par Ulugh Beg jusque peu avant sa mort en 1449. Les données des Khaqani zij y furent bien sûr utilisées.

Des lettres écrites en persan par al-Kashi à son père décrivent en détail la vie scientifique à Samarcande à cette époque^[1]. Seuls Qadi-zadeh Roumi et Ulugh Beg trouvent grâce à ses yeux. Al-Kashi était d'un tempérament peu raffiné, mais Ulugh Beg le traitait avec bienveillance du fait de ses compétences.

La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante :

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure 1 : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors l'égalité suivante est vérifiée :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \ \gamma .}$ 

Al-Kashi est crédité de l'énonciation de ce théorème dans son livre Miftah al-hisab (« Clé de l'arithmétique »).

En 1424, dans son ouvrage intitulé Risala al-mouhitiyy (« Traité de la circonférence »)^[2], à partir de la méthode des polygones d'Archimède, en utilisant exclusivement la base 60 (sexagésimale)^[2], al-Kashi calcule 10 chiffres sexagésimaux de π, soit 16 chiffres décimaux exacts^[3]. Il publie ainsi le calcul suivant :

2π = 6 * 60⁰ + 16 * 60⁻¹ + 59 * 60⁻² + 28 * 60⁻³ + 1 * 60^-4 + 34 * 60^-5 + 51 * 60^-6 + 46 * 60^-7 + 14 * 60^-8 + 50 * 60^-9,

ce qui donne, en décimal : π = 3,1415926535897932…

La valeur la plus précise obtenue jusque-là était celle du mathématicien chinois Zu Chongzhi (vers l'an 465) qui, par la méthode des périmètres, avait obtenu l'encadrement : 3,1415926 < π < 3,1415927.
Vers 1410, et de manière indépendante, le mathématicien indien Madhava avait déjà obtenu 11 décimales de π à l'aide d'une variante de la formule de Gregory.

Ce record sera battu 170 ans plus tard, en 1596, par l'Allemand van Ceulen, avec 20 décimales^[4].

Dans cette œuvre terminée en 1427, Al-Kashi utilise l'arithmétique pour résoudre des problèmes relevant de divers domaines tels que l'astronomie, la finance ou l'architecture^[2].

Al-Kashi est l'inventeur d'une sorte de calculateur analogique permettant de faire des interpolations linéaires, opérations très courantes en astronomie^[5],[6],[7].

• Jamshīd ibn Masʻūd Kāshī (auteur), Edward Stewart Kennedy (dir.) et Mary Helen Kennedy (dir.), Al-Kāshī's geographical table, vol. 77, partie 7, de Transactions of the American Philosophical Society, 1987 (ISBN 0871697785 et 9780871697783)
• Gamšīd Ġiyāṯ al-Dīn al-Kāšī (auteur), Aḥmad Saʿīd al-Damirdāš (dir.), Muḥammad Ḥamdī al-Ḥifnī al-Šayẖ (dir.), مفتاح الحساب (Miftāḥ al-ḥisāb), Le Caire, 1967 (Clé de l'arithmétique) — Ouvrage dédié à Oulough Beg^[8]

• (en) Adolf P. Youschkevitch et Boris Rosenfeld, « Al-Kāshī », dans Complete Dictionary of Scientific Biography, vol. 7, Détroit, éditions Scribner, 2008 (ISBN 978-0-684-31559-1), p. 255-262 (disponible sur Internet Archive)

• Mathématiques arabes
• Liste des mathématiciens arabo-musulmans
• Approximation de π

• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi », sur MacTutor, université de St Andrews.  
• Youcef Guergour, « Le roi de Saragosse Al-Mu'taman Ibn Hūd (m. 1085) et le théorème de Pythagore : ses sources et ses prolongements », LLULL, vol. 28,‎ 2005, p. 415-434 (ISSN 0210-8615, lire en ligne) — p. 430-431 : démonstration par Al-Kashi du théorème qui porte son nom.

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