Välttämätön ja riittävä ehto

Välttämättömät ja riittävät ehdot viittaavat logiikassa väittämien välisiin implikatiivisiin suhteisiin. Väite p on väitteen q välttämätön ehto, jos q ei voi olla tosi, ilman että p on tosi. Väite p on väitteen q riittävä ehto, jos p:n totuus takaa sen, että myös q on tosi.^[1]

Se, että p on q:n välttämätön ja riittävä ehto ilmaistaan yleensä konjunktiolla ”jos ja vain jos” tai sen lyhenteellä ”joss”, eli q joss p.^[1]

Väittämän välttämättömän ehdon (lat. conditio sine qua non) tulee täyttyä, jotta väittämä olisi tosi. Muodollisesti esitettynä, väittämä p on väittämän q välttämätön ehto jos q implikoi p:n, eli jos ja vain jos väite ”jos q niin p” on tosi.^[1] Toisin sanoen lauseessa

${\displaystyle q\Rightarrow p}$

p on välttämätön ehto q:lle.

Esimerkiksi kyky hengittää on välttämätöntä ihmisen elämälle. Vastaavasti lukua 2 suuremmille kokonaisluvuille pätee, että parittomuus on välttämätön ehto sille, että luku on alkuluku, koska 2 on ainoa kokonaisluku, joka on sekä parillinen että alkuluku.

Väittämän riittävä ehto on ehto, joka täyttyessään takaa sen, että väittämä on tosi. Muodollisesti esitettynä väittämä p on väittämän q riittävä ehto jos p implikoi q:n, eli jos ja vain jos väite ”jos p niin q” on tosi.^[1] Toisin sanoen lauseessa

${\displaystyle p\Rightarrow q}$

p on riittävä ehto q:lle.

Esimerkiksi hyppääminen on riittävä ehto maasta irtautumiselle, koska hyppäämiseen kuuluu oleellisena maasta irtautuminen. Vastaavasti riittävä ehto luvun parillisuudelle on, että jakamalla se luvulla 2 saadaan tulokseksi kokonaisluku.

Ehto voi olla joko välttämätön tai riittävä ilman, että se olisi samalla toista. Esimerkiksi:

• Eliön x suhteen ”x on nisäkäs” on välttämätön mutta ei riittävä ehto väittämälle ”x on ihminen”, koska kaikki ihmiset ovat nisäkkäitä, mutta on myös olemassa muita nisäkkäitä. Jos eliöstä siis tiedetään sen olevan ihminen, sen tiedetään heti olevan nisäkäs, mutta ei päinvastoin.
• Luvun x suhteen ”x on rationaaliluku” on riittävä mutta ei välttämätön ehto väittämälle ”x on reaaliluku”, koska kaikki rationaaliluvut ovat reaalilukuja, mutta on myös olemassa muita reaalilukuja. Jos luvusta siis tiedetään, että se on rationaaliluku, sen tiedetään heti olevan reaaliluku, mutta ei päinvastoin.

Ehto voi olla sekä välttämätön että riittävä. Esimerkiksi:

• Tästä päivästä sanottuna ”tänään on 6. joulukuuta” on välttämätön ja riittävä ehto sille, että ”tänään on Suomen itsenäisyyspäivä”.
• Matriisin M käännettävyyden välttämätön ja riittävä ehto on, että M:n determinantti on nollasta eroava.

• Modus ponens
• Modus tollens
• Non sequitur

• Conditio sine qua non

• Brennan, Andrew: Necessary and Sufficient Conditions The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Lau, Joe & Chan, Jonathan: Necessary and Sufficient Conditions Critical thinking web tutorial (englanniksi)