Varianssi

Matemaattisesti varianssi ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$  määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$  odotusarvon ${\displaystyle \operatorname {E} }$  avulla

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}),}$  ^[2]

missä ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$  on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]}$  ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sigma ^{2}(X)=\sigma ^{2}=Var(X)=D^{2}(X).}$  ^[2][4]

Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}.}$  ^[2]

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in X}(x-\mu _{X})^{2}f_{X}(x),}$  ^[2][3][4]

missä ${\displaystyle f_{X}(x)}$  on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.

Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{2}f_{X}(x)dx,\,}$  ^[2][3][4]

missä ${\displaystyle f_{X}(x)}$  on jakauman tiheysfunktio.

Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}}$ 

Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.^[4]

Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-(\operatorname {E} [X])^{2}}$  ^[3]

Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)\geq 0.}$  ^[3]

Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\sigma (X,X).}$  ^[5] (kovarianssi)

Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli

${\displaystyle \sigma ^{2}(X+a)=\sigma ^{2}(X),}$  ^[2][3][4]

mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat ${\displaystyle (|a|>1)}$  tai vähentävät ${\displaystyle (|a|<1)}$  varianssia

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX)=a^{2}\sigma ^{2}(X).}$  ^[2][3][4]

Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX\pm bY)=a^{2}\sigma ^{2}(X)+b^{2}\sigma ^{2}(Y)\pm 2ab\,\sigma (X,Y),}$  ^[2]

mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa

${\displaystyle \sigma ^{2}(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\,\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}\sigma (X_{i},X_{j}).}$  ^[2][4]

Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa.^[6] Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin

${\displaystyle \sigma ^{2}(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sigma (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}(X_{i})+\sum _{i\neq j}\sigma (X_{i},X_{j}).}$  ^[4]

Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia ${\displaystyle \sigma (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$  jolloin

${\displaystyle \sigma ^{2}(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}(X_{i}).}$ 

Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon

${\displaystyle \sigma ^{2}(X\pm Y)=\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y).}$  ^[2]

Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)&=[E(X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[E(Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)\\&=E(X^{2})E(Y^{2})-[E(X)]^{2}[E(Y)]^{2}.\end{aligned}}}$ 

Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{N})}$  seuraavasti

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2},\,}$  ^[1][7][4]

missä ${\displaystyle {\overline {y}}}$  on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{N})}$  on otos laajemmasta populaatiosta, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on

${\displaystyle s_{x}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2},}$  ^[1][7][4]

jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.^[7][4]