Fresnelin integraalit

Fresnelin integraalit ovat kaksi integraalia, jotka esiintyvät tutkittaessa aaltoliikkeen, tavallisimmin valon, lähikenttädiffraktiota eli Fresnel'n diffraktiota. Fresnelin integraalit ovat

${\displaystyle \mathrm {S} (x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})dt}$

sekä

${\displaystyle \mathrm {C} (x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})dt}$

Fresnelin integraalit ovat tyyppiä 0, 1 tai 2. ^[1]. Tyypissä 1 integraalimerkin edessä käytetään kerrointa ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$. Mikäli integraali määritetään sarjakehitelmällä tai numeerisesti integroimalla on se tyyppiä 1.

Näitä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja niitä pidetään siksi omina funktioinaan. Niille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmät

${\displaystyle \mathrm {S} (x)={\frac {x^{3}}{3\cdot 1!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 3!}}+{\frac {x^{11}}{11\cdot 5!}}-{\frac {x^{15}}{15\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}$

ja

${\displaystyle \mathrm {C} (x)={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{5}}{5\cdot 2!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 4!}}-{\frac {x^{13}}{13\cdot 6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}}$

missä ${\displaystyle !}$ tarkoittaa kertomaa.

Kun x on ääretön niin s(x)=0.5 ja c(x)=0.5.^[2]

Kuvan integraalit on laskettu numeerisesti integroimalla. Fresnelin integraalit voi laskea tarkasti ja suoraan yhtälöllä, kun x on vähintään 7.5.^[1]