Heisenbergin kuva

Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä ${\displaystyle |\psi \rangle }$  ja observaabelia ${\displaystyle O}$  kuvaavaa operaattoria merkinnällä ${\displaystyle {\hat {O}}_{H}(t)}$ . Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan ${\displaystyle |\psi \rangle }$  joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ . Toisin sanoen

${\displaystyle {\hat {O}}_{H}(t)|\psi \rangle =|\psi '\rangle .}$ 

Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä ${\displaystyle t}$ . Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.

Merkitään tilan ${\displaystyle |\psi \rangle }$  konjugaattitilaa merkinnällä ${\displaystyle \langle \psi |}$ . Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa ${\displaystyle |\psi \rangle }$  observaabelin ${\displaystyle O}$  odotusarvo ${\displaystyle \langle O\rangle }$  saadaan sisätulosta

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}_{H}(t)|\psi \rangle =\langle \psi |\psi '\rangle ,}$ 

missä ${\displaystyle \langle \psi |\psi '\rangle }$  on ${\displaystyle \langle \psi |}$  ja ${\displaystyle |\psi '\rangle }$  sisätulo.

Operaattori ${\displaystyle {\hat {O}}_{H}}$  toteuttaa Heisenbergin liikeyhtälön

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {O}}_{H}(t)=(i\hbar )^{-1}[{\hat {O}}_{H},H]+\left({\frac {\partial {\hat {O}}_{H}}{\partial t}}\right)_{ulk.},}$ 

missä ${\displaystyle \hbar }$  on Diracin vakio, ${\displaystyle H}$  on systeemin Hamiltonin operaattori ja ${\displaystyle [{\hat {O}}_{H},H]}$  on operaattorin ${\displaystyle {\hat {O}}}$  ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.

Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{S}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$ 

Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin ${\displaystyle O}$  odotusarvolle pätee tällöin tilassa ${\displaystyle \psi (t)}$ 

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle \psi (t)|_{S}{\hat {O}}|\psi (t)\rangle _{S}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }{\hat {O}}e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \equiv \langle \psi (0)|{\hat {O}}_{H}(t)|\psi (0)\rangle .}$ 

Nyt siis

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {O}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}H{\hat {O}}_{H}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {O}}_{H}(t)H+\left({\frac {\partial {\hat {O}}_{H}(t)}{\partial t}}\right)_{ulk.}=(i\hbar )^{-1}[{\hat {O}}_{H}(t),H]+\left({\frac {\partial {\hat {O}}_{H}}{\partial t}}\right)_{ulk.}.}$ 

Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.

• Schrödingerin kuva
• Diracin kuva
• bra-ket-merkintätapa