Sirge

See artikkel vajab toimetamist. (Veebruar 2011) Palun aita artiklit toimetada. (Kuidas ja millal see märkus eemaldada?)

See artikkel ootab keeletoimetamist. Kui oskad, siis palun aita artiklit keeleliselt parandada. (Kuidas ja millal see märkus eemaldada?)

Sirge ehk sirgjoon on ilma läbimõõduta, mõlemas suunas lõpmata pikk, kõverusteta joon ehk ühemõõtmeline ruum, mis võib sisalduda mitmemõõtmelises ruumis^[1].

Sirge üldvõrrand tasandil on (Descartesi koordinaadistikus) ristkoordinaadistikus lineaarvõrrand ${\displaystyle Ax+By+C=0}$, kus ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ on konstandid, kusjuures ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ei võrdu samaaegselt nulliga.

Sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle 4x-1y-1=0{\text{ ehk }}y=4x-1}$

Kasutatakse üldvõrrandi ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ parameetrilist kuju ${\displaystyle L=\left\{{\begin{array}{c}x=x_{0}+ta\\y=y_{0}+tb\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} }$^[2][3]

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, kus sirge on määratud 2 vektori kaudu ${\displaystyle \alpha =\left({\begin{array}{c}2\\4\end{array}}\right){\text{ ja }}\beta =\left({\begin{array}{c}3\\3\end{array}}\right)}$ :

${\displaystyle L={a+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}2+t\\4-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }}$

või

${\displaystyle L={b+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}3+t\\3-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }}$

Lisaks eelnimetatule on võimalik parameetrilist kuju tähistada, kui parameetrilisi võrrandeid

${\displaystyle L=\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=a_{1}+ts_{1}\\x_{2}=a_{2}+ts_{2}\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} =\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=3+t\\x_{2}=3-t\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} }$

ja (Descartesi kujul) ehk kanoonilisel kujul

${\displaystyle {\frac {x_{1}-a_{1}}{s_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{s_{2}}}\to {\frac {x_{1}-2}{1}}={\frac {x_{2}-4}{-1}}\to x_{1}=-x_{2}+6}$

• 
  Võrrandiga ${\displaystyle y=4x-1}$ määratud sirge.
• 
  Parameetrilise võrranditega ${\displaystyle x_{1}=3+t}$, ${\displaystyle .x_{2}=3-t}$ määratud sirge.
• 
  Sirged tasandil.

Olgu antud sirged ${\displaystyle u}$ ja ${\displaystyle v}$, ning nendele vastavad sihivektorid ${\displaystyle {\vec {s}}_{1}}$ ja ${\displaystyle {\vec {s}}_{2}}$.

Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektorite tadamskalaarkorrutis on ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle {\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}=0}$

Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle |{\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}|=1}$

Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti parajasti üks sirge.

Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle y=kx+a}$.

Kahe punktiga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$.

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}}$.

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil:

${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})}$.

Kahe tasandi ${\displaystyle \Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}}$ ja ${\displaystyle \Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}}$ lõike sirge, kus ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$ on normaal vektor, on antud

${\displaystyle \mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})}$

kus

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}.}$

Olgu antud sirge ${\displaystyle u}$ ja punkt ${\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})}$. Olgu sirge ${\displaystyle u}$ sihivektoriks ${\displaystyle {\overrightarrow {s}}=(s_{x};s_{y};s_{z})}$, siis leiame punkti ${\displaystyle X=(x;y;z)}$ sirgel, mis asub sirgel ${\displaystyle u}$ ja mille kaugus on vähim punkti ${\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})}$. Selleks lahendame võrrandid :

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}={\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {z-z_{1}}{s_{z}}}}$

Siis leiame vektori ${\displaystyle {\overrightarrow {DX}}}$ ja selle pikkuse ${\displaystyle r=\left|\left|{\overrightarrow {DX}}\right|\right|}$, mis on punkti kaugus sirgest:

${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right){}^{2}+\left(y-y_{1}\right){}^{2}+\left(z-z_{1}\right){}^{2}}}}$

Olgu antud sirged ${\displaystyle u}$ ja ${\displaystyle v}$. Sellest leiame vastavad sihivektorid ${\displaystyle {\overrightarrow {s_{1}}}}$ ning ${\displaystyle {\overrightarrow {s_{2}}}}$ ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle \varrho ={\frac {\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\right|\right|}}}$

${\displaystyle \varrho (u,v)={\frac {\left|({\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}})\cdot {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}}\right|\right|}}}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {}{}}(f'(x))(x-x_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}=\left({\frac {-1}{f'(x)}}\right)(x-x_{1})}$

• Tuletis
• Punkt
• Sirgete lõikumine
• Kiir
• Lõik