Aristoxenos

Aristoxenos oli range empiirik, ehitades muusikateooria vastavuses muusikalisele tajule. Ta kuulub sellega juhtivate harmoonikute (Harmoniker'ide) hulka. Formuleeris kategoorilised antiteesid oma eelkäijate, eriti pütagoorlaste vastu, taunides nende akustilist muusikateooriat, mis defineerib intervalle arvsuhete kaudu, hälbimisena võõrale territooriumile ning kritiseeris nende kontrollimatuid hüpoteese (näiteks Archytase omi) ja ebatäpsustest kubisevaid eksperimente flöödi ja pillikeelega. Kriitikast hoolimata jäi ta endise pütagoorlasena rangelt matemaatiliseks. Ta koguni suurendas muusikateooria valdkonnas deduktiivsete printsiipide osatähtsust: oma eelkäijate puuduvaid või lünklikke definitsioone pilkas ta kui oraakellikke ja soovitas muusika puhul kasutada täpseid definitsioone, aksioome ja tõestusi. Sellist läbini muusikalis-matemaatilist kontseptsiooni rakendas ta esimesena tekstides "Harmoonilised elemendid" ("Harmonischen Elementen") ja "Rütmilised elemendid" ("Rhythmischen Elementen"). Kumbki tekst ei ole täielikult säilinud, täielik on definitoorne mõistete moodustamine ning harmoonias ka aksiomaatika, mille tõestuste osa pikkade täpsete sõnaliste deduktsioonidega seevastu mõnikord katkeb. Matemaatiliselt kasutas ta Eudoxos Knidose õpetust suurustest (Größenlehre’t), mis leidub ka Eukleidese sarnaselt pealkirjastatud "Elementides". Seetõttu on Aristoxenose muusikateooria vahetult enne Eukleidest rakendatud matemaatika poolest klassikalise antiigi varaseim musternäide.

Aristoxenoselt pärineb vanim intervalli täpne definitsioon: ta defineeris intervalli (διάστημα) isoleeritud vahemikuna (Abgeschlossenes Intervall) hulga kõrgeima ja madalaima lineaarselt järjestatud tooni (φθόγγος) vahel. Helisüsteemi (Tonsystem’i, σύστημα) defineeris ta antiigi geomeetria põhjal sirgete liitmisena [A,B][B,C] = [A,C]. Igal intervallil on suurus. Kui intervalli suurust tähistada nagu sirgetegi puhul [A,B], kehtib Aristoxenosel pütagoorlase Philolaose suuruste reegel (Größenregel) AB + BC = AC. Aristoxenos arvutas ka võrreldamatute (inkommensurabel’ite) väärtustega irratsionaalsete suurustega. Mõõtühikuna kasutas ta mõistet toon (τόνος, täistoon) ja toetus järeltehtavale (überlieferte, nachvollziehbare) kuulmiseksperimendile, mille kohaselt konsonantseid intervalle (oktaavi, kvinti, kvarti) produtseerivad toonide ratsionaalarvulised kordsed. See kehtib järgmiste võrrandite puhul:

oktaav = kvint + kvart	(definitsioon)
toon = kvint – kvart	(definitsioon)
kvart = 2½ toon	(eksperiment)
kvint = 3½ toon	(tuletis)
oktaav = 6 tooni	(tuletis)

Intervallide klassifitseerimiseks kasutas Aristoxenos matemaatilist Platoni dihairese meetodit (Dihairese-Methode) ja defineeris viis eristust (Unterscheidung’it), mida tänapäeval nimetatakse negeerivateks ekvivalentsussuheteks (negierte Äquivalenzrelation’ideks), kusjuures vahet tehakse mitteliitintervalli suuruse järgnevusel (Folge, τάξις) põhineva intervallimudeli (Form’i, σχημα) alusel. See vastab kahehelilistele intervallidele [A₁,B₁],....,[A_n,B_n] järgmises võrrandis:

[A₁,B₁]....[A_n,B_n] = A₁B₁......A_nB_n

Eraldi intervallidena defineeris ta mudeli A B C abil lõpmatult paljusid neljahelilisi tetrakorde, kusjuures A + B + C = kvart. Ta klassifitseeris need spetsiaalsete mudelite järgi diatoonilistesse, kromaatilistesse ja enharmoonilistesse helistikesse (Tongeschlecht’idesse). Sellisele abstraktsele põhjale visandas Aristoxenos ajaloo esimese muusikateoreetikuna aksiomaatilise helisüsteemiteooria (axiomatische Tonsystemtheorie), milles ta iseloomustas meloodilisi süsteeme aksioomide kaudu ning tuletas seejärel nende mudelid (Form’id). Esmajoones tuletas ta konsonantside valemid ja näitas, et need on tetrakordi formaalse mudeli A B C tsüklilised permutatsioonid:

kvardimudelid	kvindimudelid	oktavimudelid
A B C	A B C toon	A B C A B C toon
B C A	B C toon A	B C A B C toon A
C A B	C toon A B	C A B C toon A B
	toon A B C	A B C toon A B C
		B C toon A B C A
		C toon A B C A B
		toon A B C A B C

Täiusliku süsteemina (σύστημα τέλειον) defineeris ta väikseima meloodilise süsteemi, mis sisaldab kõiki konsonantside mudeleid. Tema tuletuskäik puudub algallikates. Hilisemate aristokseenlike allikate põhjal kasutas ta süsteemide arvutamisel järgmist valemit:

toon A B C A B C toon A B C A B C tetrakordide jaoks intervallijärgnevusega A B C. Tänapäeva muusikapraktikaga on seostatav üksnes tema diatoonilise tetrakordi mudelile ½toon toon toon tuginev täiuslik diatooniline süsteem.

See valem vastab tänapäevasele kaheoktaavilisele mollhelireale:

toon ½toon toon toon ½toon toon toon toon ½toon toon toon ½toon toon toon

Oma teooria rütmist ehitas Aristoxenos üles suures osas analoogina teooriale harmooniast. Suuruse ühikuna kasutas ta seejuures vältust (χρόνος), ka irratsionaalsete suhetega määramata vältusi. Analoogina algarvudele (Primzahl’idele, πρωτος αριθμος) defineeris ta veel tajutava jaotamatu vältuse: algvältuse (πρωτος χρόνος). Tajutavust määratles ta realiseeritavuse kaudu kõnes, laulus või kehalises liikumises (väikseim algvältus on niisiis väljaselgitatav individuaalse eksperimendi abil). Nagu ta rõhutas, annab see tulemuseks lõpmatult palju algvältusi, mida ta kasutas ühikvältustena. Koos väikseima ühikvältusega p kuuluvad kõik ühikvältused vahemikku p ja 2p. Rütmi defineeris ta vältuste järgnevusena (Dauernfolge’na, χρόνων τάξις) paralleelselt harmoonia intervallimudeliga. Rütmide kokkulangevust (Zusammensetzung’i) jälgis ta silpide, helide ja žestide kui rütmiseerivate elementidena kolmel rütmiseerimistasandil (kõne, laul ja kehaliikumine). Nendele rütmiseeritavatele elementidele andis ta nagu järjestatud paaridele vältused ning arutles kompleksse kolmekihilise rütmistruktuuri üle. See on esimene katse defineerida polürütmilisi struktuure. Tetrakordid vastavad rütmikas kahe- kuni neljaosalistele mõõtudele (Fuss’idele), millel pole midagi tegemist värsijalgadega värsiõpetuses, vaid mis on selgitatavad kehalise liikumise tasandil (tantsusammud). Mõõdud klassifitseeris ta seitsmeks, mille hulgas leiduvad ka rütmiklassid (Rhythmusgeschlecht’id) daktüliliselt, jambiliselt ja paiooniliselt. Tema rütmika fragmentaarne deduktiivne tõestusosa võimalikest mõõtudest pole enam ilma hüpoteesideta rekonstrueeritav, kuna teatud aksioomid on kaduma läinud.

Kõik hilisemad antiigi muusikateoreetikud võtsid harmoonia vallas üle Aristoxenose muusikaterminoloogia. See ei kehti mitte ainult tema pooldajate, niinimetatud aristokseenlaste, vaid ka vastaste kohta noorte pütagoorlaste hulgas. Nende hulka kuulus Aristoxenose eluajal matemaatik Eukleides, kes oma muusikaalases tekstis "Kaanonite jagunemine" ("Teilung des Kanons") formuleeris aristokseenliku diatoonilise helisüsteemi pütagoorlikult modifitseeritud versiooni, tõestades samal ajal terve rea Aristoxenose harmoonika vastaseid teoreeme, sealhulgas tooni jaotatavuse negatsiooni (Negation der Teilbarkeit des Tons), eksperimentaalse aksioomi kvart = 2½ tooni ning võrduse oktaav = 6 tooni. Need teoreemid näitavad aga vaid antiigi matemaatika hetketasemel pütagoorlik-akustilise seisukoha kokkusobimatust empiirilis-muusikaliste seisukohtadega. Eukleidese autoriteedi kaudu pani ennast arvutuslikult ulatuslikult maksma pütagoorlik teooria, Aristoxenos jäi mõõtuandvaks vaid terminoloogias. Sellise aristokseenoslik-pütagoorliku kompromissliini esindajad olid ka Eratosthenes ning eelkõige Ptolemaios. Ptolemaios pani Aristoxenose ebatäpsete keelpillikeeltega tehtud eksperimentide kriitika põhjal ette mõõtmistehnilisi parendusi kaanoni (Kanoni) või monokordi kohta ja kritiseeris Aristoxenose eksperimendi ebatäpsust. Akustilis-eksperimentaalselt olevat eksperiment aga õige. Ta mõjutas sellega Boethiust, kes tõlkis Pythagorase ja Aristoxenose koolkonna dispuudi ladina keeleruumi, avaldades sellega otsustavat mõju keskaegsele ja tänapäeva helisüsteemiteooriale. Keskaja muusikas olid kirikulaadide puhul praktiliselt tähtsad aristokseenlikud oktaavimudelid (Formen der Oktave’d), mida on nimetatud ka oktaaviperekondadeks (Oktavgattung’ideks). Rütmika valdkonnas oli Aristoxenosel hilisemale teooriale vähe mõju, kuna selles sai hiljem domineerivaks meetrika, mille terminoloogias võttis Dionysios Thrax üle ja interpreteeris kõnerütmiliselt ümber vaid mõiste "mõõt" (Fuß) ja selle kehe- kuni neljaosalise jaotuse.

Aristokseenlasteks nimetatakse muusikateoreetikuid, kes orienteerusid Aristoxenose õpetusele ning distantseerisid end pütagoorlikust liinist. Nende hulka kuuluvad Kleoneides ehk Pseudo-Eukleides, Aristides Quintilianus, Bakcheios, Psellos ning mõningad anonüümsed muusikaliste traktaatide, mida on ekslikult peetud Aristoxenosele kuuluvaks, autorid. Aristokseenlased olid epigoonid, kes ei küündinud oma eeskuju tasemele ning lahjendasid tema õpetust tunduvalt. Nad kõrvaldasid õpetusest kogu matemaatika, aksioomid, tõestused ja paljud definitsioonid, hiljem koguni eksperimentaalse tajuga seotud põhjendused. Tihti ei olnud aristokseenlaste õpetus Aristoxenose õpetusest selgelt lahutatud. Aristoxenose retseptsioonile on juba antiigist alates omane tugev vääritimõistmine. Tema antipütagoreismi tõlgendati tihti vääriti kui võimetust arvutada ning tema empiirilisi seisukohti kui antimatemaatilisi. Need vääritimõistmised õilmitsevad tänapäevani. Üks näide on Johann Mattheson, kes pseudonüümi Aristoxenus Noorem (Aristoxenus der Jüngere) all kirjutas pamflette muusika ja matemaatika seoste vastu. Vincenzo Galileist alanud Aristoxenose renessansist peale on kui aristokseenlikku vääriti mõistetud ka kaheteisthelilist võrdtempereeritud helisüsteemi, kuna selles kehtivad justkui Aristoxenose suuruste võrdlused. Temperatsioon eeldab aga eeskujuna pütagoorlikku süsteemi puhta kvindi suhtega 3:2, mis Aristoxenosel puudus.

• Aristoxenos: Eléments harmoniques, tõlge prantsuse keelde, [1]
• Aristoxenos: Harmonische Elemente, ed. R. da Rios, Roma 1954
• Aristoxenos: Rhythmische Elemente, ed. G. P. Pighi, Bologna 1959
• Heinrich Feußner: Aristoxenos, Grundzüge der Rhythmik. Hanau 1840
• Stefan Ikarus Kaiser: Die Fragmente des Aristoxenos von Tarent. Neu herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen. Phil. Diss., Wien 2004 (Drucklegung erfolgt in Kürze)
• Paul Marquard: Die harmonischen Fragmente des Aristoxenos. Berlin 1886.
• Rudolf Westphal: Melik und Rhythmik des Aristoxenos, übersetzt und erläutert. Leipzig 1883; Nachdruck Hildesheim 1965

• Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker, Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Lang, Frankfurt am Main etc. 1986, ISBN 3-8204-9492-8
• Wilfried Neumaier: Antike Rhythmustheorien, historische Form und aktuelle Substanz. Amsterdam 1989, ISBN 90-6032-064-6 (online)
• Aristoxenos. In: Der Kleine Pauly, Lexikon der Antike. Band 1, S. 591f.
• Stefan Ikarus Kaiser: Die harmonischen Elemente des Aristoxenos von Tarent. Diplom-Arbeit, Salzburg 2000