Teorema de la deducción

El teorema de la deducción es un metateorema de la lógica proposicional, la lógica de primer orden y otros sistemas lógicos, que es bastante utilizado para demostrar otros metateoremas.^[1]​ Se trata de una formalización de la técnica de demostración ordinaria según la cual para demostrar que de A se sigue B, basta con suponer A y a partir de ello llegar a la conclusión de que B.

Más formalmente, el teorema establece que si una fórmula B es deducible (en un sistema deductivo S) a partir del conjunto de fórmulas ${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}}$, entonces A → B es deducible a partir de ${\displaystyle \Gamma }$ solamente.^[1]​ En símbolos:

${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}\vdash _{S}B}$   implica   ${\displaystyle \Gamma \vdash _{S}A\to B}$

O alternativamente, en la notación del cálculo de secuentes:

${\displaystyle \Gamma ,A\vdash _{S}B}$   implica   ${\displaystyle \Gamma \vdash _{S}A\to B}$

En el caso especial donde ${\displaystyle \Gamma }$ es el conjunto vacío, el teorema de la deducción dice que:^[1]​

${\displaystyle A\vdash _{S}B}$   implica   ${\displaystyle \vdash _{S}A\to B}$

El teorema de la deducción parece haber sido demostrado por primera vez por Alfred Tarski en 1921, pero la primera demostración publicada es de Jacques Herbrand en 1930.^[1]​