Integral de Riemann

Sean ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$  una función no negativa y

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}}$ 

la región en el plano bajo la gráfica de la función ${\displaystyle f}$  y por encima del intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ . El interés es medir el área de ${\displaystyle S}$ . Una vez medida, se denota el área por

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$ 

La idea básica de la integral de Riemann es utilizar aproximaciones para calcular el área de ${\displaystyle S}$ . Tomando mejores aproximaciones, es posible afirmar que en el límite se tendrá exactamente el área de ${\displaystyle S}$  bajo la curva.

Es necesario definir cuatro conceptos. El último es el de interés. El primero es una partición de un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ . El segundo la norma de una partición. El tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ .

Sea ${\displaystyle [a,b]}$  un intervalo cerrado sobre los números reales, una partición de ${\displaystyle [a,b]}$  es un subconjunto finito ${\displaystyle P=\{x_{0}=a,\;x_{1},\;\dots ,\;x_{n}=b\}}$  tal que ${\displaystyle x_{i}>x_{i-1}}$ , con ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ . La norma de la partición es la longitud del intervalo más grande:

${\displaystyle \|P\|=\max \left\lbrace x_{i}-x_{i-1}:i=1,...,n\right\rbrace }$ 

Lo que se está haciendo, en pocas palabras, es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original. La norma es la longitud del intervalo más grande.

Sea ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$  una función y se tiene una partición del intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ , denotada por ${\displaystyle P=\{x_{0}=a,\;x_{1},\;\dots ,\;x_{n}=b\}}$ , entonces se llama suma de Riemann a una suma de la forma:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1})}$ 

con ${\displaystyle x_{k-1}\leq t_{k}\leq x_{k}}$ .

De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base ${\displaystyle x_{k}-x_{k-1}}$  y altura ${\displaystyle f(t_{k})}$ . Se representa esta suma como ${\displaystyle S(P,f)}$ . También se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

${\displaystyle S(P,f,\left\lbrace t_{i}\right\rbrace _{i=1}^{n})}$ 

Una función ${\displaystyle f}$  acotada definida en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  se dice que es Riemann integrable en ${\displaystyle [a,b]}$  si existe un número ${\displaystyle I}$  en los reales tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$  existe una ${\displaystyle \delta }$  positiva tal que si ${\displaystyle P}$  es una partición de ${\displaystyle [a,b]}$  con ${\displaystyle \|P\|<\delta }$  y ${\displaystyle S(P,f)}$  es cualquier suma de Riemann entonces ${\displaystyle |S(P,f)-I|<\varepsilon }$ .

Usualmente para funciones conocidas que se sabe integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los ${\displaystyle t_{k}}$  como alguno de los puntos extremos de cada intervalo. Debe notarse que si no se sabe que la función es integrable entonces no podría tomarse cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podría tomar los valores extremos. En este caso en que no se sabe que es integrable, se tendría que revisar que para cualquier valor ${\displaystyle t_{k}}$  que se tomara en cada intervalo ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]}$  la suma de Riemann menos algún número real ${\displaystyle I}$  es menor en valor absoluto que cualquier ${\displaystyle \varepsilon }$  que se hubiera tomado. En caso de cumplirse se habría demostrado que la función f es integrable según Riemann en ${\displaystyle [a,b]}$  y se habría calculado hallado su valor; en caso de no cumplirse no se habría probado nada en absoluto. Cuando se lleva al límite esta partición, se puede demostrar que se obtiene el valor de la integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+k\;{\frac {b-a}{n}}\right)}$ .

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas. Es posible demostrar que toda función que es continua en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ , es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral. Por supuesto, si ya se está familiarizado con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función ${\displaystyle F(x)}$  (denominada primitiva de ${\displaystyle f(x)}$ ) cuya derivada nos arroje la función original ${\displaystyle f(x)}$  y entonces el valor de la integral es ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ . No siempre es posible hallar una función primitiva de la que se está integrando. En esos casos, se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

En este apartado se hará referencia a funciones acotadas en un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$  (igual que en los apartados anteriores).

Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto numerable de discontinuidades es integrable. Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}x\in C\\0,&{\mbox{si }}x\notin C\end{cases}}}$ 

siendo C el conjunto de Cantor.

Existen definiciones que son equivalentes a la definición de integral de Riemann. Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y solo si es integrable con respecto a otra definición. Una muy utilizada es la integral de Darboux que se auxilia de los supremos e ínfimos de los intervalos en los cuales se particiona. Una segunda, que es la que de hecho se utiliza para definir la integral de Riemann-Stieltjes, con los ajustes necesarios (y no la definición que se encuentra arriba, porque cuando se extiende a ser de Riemann-Stieltjes no cumple con todo lo que nos gustaría que se pudiera derivar de dicha definición) es la siguiente:

Una función ${\displaystyle f}$  acotada definida en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  se dice que es Riemann integrable en ${\displaystyle [a,b]}$  si existe un número ${\displaystyle I}$  tal que, para todo número real positivo ${\displaystyle \varepsilon }$  existe una partición ${\displaystyle P\varepsilon }$  de ${\displaystyle [a,b]}$  tal que si ${\displaystyle P}$  es un refinamiento de ${\displaystyle P\varepsilon }$  (es decir, ${\displaystyle P}$  contiene a ${\displaystyle P\varepsilon }$ ) y ${\displaystyle S(P,f)}$  es cualquier suma de Riemann, entonces ${\displaystyle |S(P,f)-I|<\varepsilon }$ .

De manera intuitiva, la diferencia entre la definición de la integral de Riemann y esta última definición, es que la primera hace uso del concepto de la norma de la partición menor que un cierto delta para obtener mejores aproximaciones, en la segunda por contraste nos olvidamos de la norma de la partición y en vez de eso ampliamos las particiones, es decir les añadimos puntos, para obtener mejores aproximaciones. Esta diferencia es muy importante para el concepto de la integral de Riemann-Stieltjes, porque en la segunda definición nosotros podemos decir específicamente qué puntos queremos incluir en la partición, en contraste a la primera, en la que estamos atados a una cierta norma, que aunque se cumpla que la norma sea menor que un cierto delta, puede ser que la partición no incluya puntos que queremos que incluya en específico (que en el caso de la integral de Riemann no nos importa, pero cuando utilizamos la integral de Riemann-Stieltjes, hay puntos que son críticos para que se cumplan ciertas propiedades).

El símbolo ${\textstyle \int }$  es una «S» deformada. En el caso en que la función ${\displaystyle f}$  tenga varias variables, el ${\displaystyle dx}$  especifica la variable de integración.
Si la variable de integración y el intervalo de integración son conocidos, la notación se puede simplificar como ${\textstyle \int f}$ .

Algunas funciones no son Riemann integrables; tal es el caso de la función de Dirichlet. La integral de Darboux, la integral de Lebesgue, la integral de Riemann-Stieltjes y otras más que se pueden ver en artículo sobre integración son otras formas de atacar el problema de la integración, logrando en algunos casos que funciones que no son Riemann integrables sean por ejemplo Lebesgue integrables.

Históricamente, Riemann concibió esta teoría de integración, y proporcionó algunas ideas para el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral. La teoría de la integración de Lebesgue llegó mucho más tarde, cuando los puntos débiles de la integral de Riemann se comprendían mejor.

En Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área localizada bajo la curva de la función.

Sea ${\displaystyle f}$  una función con valores reales definida sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ , tal que para todo ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle f(x)\geq 0}$  (es decir, tal que ${\displaystyle f}$  es no negativa).

Sea ${\displaystyle S_{f}=\{(x,y)|0\leq y\leq f(x)}$  la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función ${\displaystyle f}$ , el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones ${\displaystyle x=a}$  y ${\displaystyle x=b}$ . Estamos interesados en medir el área del dominio ${\displaystyle S}$ , si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.

Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.

• Integral de Riemann-Stieltjes
• Integral de Lebesgue
• Integral de Itō (1945)

• APOSTOL, Tom M. Análisis Matemático (Mathematical Analysis), trad., ed. Reverté S. A. 1976.
• APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 y 2(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1984.
• BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático (The Elements of Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 1982.
• BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
• KURTZ et al.Theories of Integration The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil and McShane, ed. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2004.
• SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1992.

• Integral de Riemann (Departamento de Matemática Aplicada. Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid)
• Integral definida (Manuel Sada Allo): Ejemplo 1 Ejemplo 2