Grupo lineal general

Si ${\displaystyle \scriptstyle V}$  es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$ , entonces escribimos ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GL}}(V)}$  o ${\displaystyle \scriptstyle {\text{Aut}}(V)}$  para el grupo de todos los automorfismos de ${\displaystyle \scriptstyle V}$ , es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GL}}(V)}$  y ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GL}}(n,\mathbb {F} )}$  son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz invertible n por n, que establece el isomorfismo.

Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$  como espacio vectorial su grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten inversa. Si escogemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero).

Puede demostrarse que el grupo lineal sobre un espacio euclídeo n-dimensional puede considerarse como una variedad diferenciable dentro de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$  por lo que la dimensión de este grupo de Lie como variedad diferenciable es n².

En un espacio vectorial normado E el grupo lineal GL(E) puede ser dotado de una topología inducida, y resulta ser un conjunto abierto dentro del conjunto de aplicaciones lineales o morfismos del espacio vectorial E.

Si el cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$  es ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$  (los números reales) o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$  (los números complejos), entonces ${\displaystyle \scriptstyle GL(n)}$  es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja n². La razón es como sigue: ${\displaystyle \scriptstyle GL(n)}$  puede representarse por matrices con determinante diferente de cero, el determinante es una función (incluso un polinomio) continuo, y por lo tanto ${\displaystyle \scriptstyle GL(n)}$  es un subconjunto abierto no vacío de la variedad de todas las matrices n por n, que tiene dimensión n².

El álgebra de Lie que corresponde a ${\displaystyle \scriptstyle GL(n)}$ , designada frecuentemente como ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ , consiste en todas las matrices n × n sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$ , con el conmutador como el corchete de Lie.

Mientras que ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {C} )}$  es conexo, ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {R} )}$  tiene dos componentes conexas: las matrices con determinante positivo y las de determinante negativo. Las matrices reales n por n con determinante positivo forman un subgrupo del ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {R} )}$  denotado por ${\displaystyle \scriptstyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$ . Éste es también un grupo de Lie de dimensión real n² y tiene la misma álgebra de Lie que ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {R} )}$ . ${\displaystyle \scriptstyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$  es conexo.

Ni ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {C} )}$  ni ${\displaystyle \scriptstyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$  son simplemente conexos (salvo, en el caso real, cuando n = 1). La variedad del grupo ${\displaystyle \scriptstyle GL(n,\mathbb {C} )}$  tiene un grupo fundamental isomorfo a ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$  mientras que ${\displaystyle \scriptstyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$  tiene un grupo fundamental isomorfo a ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$  para n = 2 y a ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} _{2}}$  para n > 2.

Si F es un cuerpo finito con q elementos, entonces escribimos a veces GL(n, q) en vez de GL(n, F). GL(n, q) es un grupo finito con

(qⁿ - 1)(qⁿ - q) (qⁿ - q²)... (qⁿ - q^{n -1})

elementos. Esto puede ser demostrado contando las columnas posibles de la matriz: la primera columna puede ser todo menos la columna cero; la segunda columna puede ser todo menos los múltiplos de la primera columna, etc.

El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante igual a 1. Que dicho conjunto constituye un grupo se sigue de la regla de multiplicación de determinantes. SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F).

Si escribimos F^× para el grupo multiplicativo de F (excluyendo el 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupos

${\displaystyle \det :GL(n,\mathbb {F} )\to \mathbb {F} ^{\times }}$ 

El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial. Por el primer teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F^×. De hecho, GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F^×:

${\displaystyle GL(n,\mathbb {F} )=SL(n,\mathbb {F} )\rtimes \mathbb {F} ^{\times }}$ 

Cuando F es R o C, SL(n) es un subgrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²-1. El grupo de Lie de SL(n) consiste en todas las matrices n × n sobre F con determinante unidad. Su álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$  es puede representarse por matrices de traza nula y el corchete de Lie de esta álgebra viene dado por el conmutador.

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las transformaciones lineales de Rⁿ que preservan el volumen y la orientación.

El grupo SL(n, C) es simplemente conexo mientras que no lo es SL(n ,R). SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que GL⁺(n, R), es decir, Z para n = 2 y Z₂ para n > 2.

El conjunto de todas las matrices diagonales forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a (F^×)ⁿ. En cuerpos como R y C, éstas corresponden al reescalado del espacio; las llamadas expansiones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante por la matriz identidad. El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero, (a veces denotado Z(n, F), forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo al F^×. Este grupo es el centro de GL(n, F). En particular, es un subgrupo normal, abeliano.

El centro de SL(n, F), denotado SZ(n, F), es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unidad. Obsérvese que SZ(n, C) es isomorfo a las raíces n-ésimas de la unidad.

Los así llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta clase de producto interno en V. Estos incluyen el

• Grupo ortogonal, O(V), que preserva una forma bilineal simétrica en V,
• Grupo simpléctico, Sp(V), que preserva una forma bilineal anti-simétrica en V,
• Grupo unitario, U(V), que preserva una forma hermítica en V (cuando F = C).

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de los grupos de Lie.

• Grupo lineal proyectivo
• Grupo afín
• Representación de grupo