Difeomorfismo

Dadas dos variedades ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  y ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ , una aplicación ${\displaystyle f:{\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$  es un difeomorfismo si es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable. Si estas aplicaciones son r veces continuamente diferenciables, esto es son miembros de ${\displaystyle C^{r}}$  entonces f es un C^r-difeomorfismo o difeomorfismo de clase C^r.

Dos variedades ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  y ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$  son difeomorfas ${\displaystyle ({\mathcal {M}}\approx {\mathcal {N}})}$  si existe un difeomorfismo f entre ellas.

Las transformaciones regulares son llamadas difeomorfismos de la clase ${\displaystyle C^{(1)}}$ 

Una aplicación ${\displaystyle g}$  de ${\displaystyle {\mathcal {R^{n}}}\to {\mathcal {R^{n}}}}$  es regular si:

1. ${\displaystyle g}$  es de la clase ${\displaystyle C^{(1)}}$ 
2. ${\displaystyle g}$  es univalente
3. ${\displaystyle \forall t,\ g(t)\neq 0}$  ^[1]​

Dado un subconjunto ${\displaystyle X}$  de una variedad ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  y un subconjunto ${\displaystyle Y\subset {\mathcal {N}}}$ , una función ${\displaystyle f:X\to Y}$  es diferenciable (suave) si para cada ${\displaystyle p\in X}$  existen un entorno ${\displaystyle U\subset {\mathcal {M}}}$  y una función diferenciable (suave) ${\displaystyle g:U\to Y}$  tal que ${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$  (nótese que g es una extensión de f). Se dice además que f es un difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y su inversa diferenciable.

Ejemplo canónico. Si U, V son subconjuntos abiertos conexos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  tales que V es además simplemente conexo, una aplicación diferenciable f : U → V es un difeomorfismo, si es una aplicación propia y si la aplicación progrediente o diferencial Df_x : Rⁿ → Rⁿ es biyectiva en todo punto x de U.

Comentario 1. Es esencial que U sea simplemente conexo para que la función f sea globalmente invertible (si únicamente se exige la condición de que la derivada sea biyectiva en cualquier punto). Por ejemplo, considérese la "realificación" de la función compleja z²:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy)\end{cases}}}$ 

Entonces f es suprayectiva y satisface

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0}$ 

así Df_x es biyectiva en todos los puntos aunque f no admite inversa, porque no es biyectiva, e.g., f(1,0) = (1,0) = f(−1,0).

Puesto que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente mediante ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , podemos considerar algunas aplicaciones explícitas:

• Sea

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$ 

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$ 

Esta matriz jacobiana tiene determinante cero si, y sólo si xy = 0. Vemos pues que f podría ser un difeomorfismo sobre cualquier conjunto que no se interseque con los ejes X o Y. Sin embargo, no es biyectiva dado que f(x,y) = f(-x,y), por lo que no es un difeomorfismo.

• Sea

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$ 

donde las ${\displaystyle a_{i,j}}$  y ${\displaystyle b_{i,j}}$  son números reales arbitrarios y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y. Calculamos la matriz jacobiana en el punto 0:

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$ 

Vemos que g es un isomorfismo local en 0 si, y sólo si

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$ 

es decir, los términos lineales en las componentes de g son linealmente independientes, como polinomios.

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