Coordenadas paraboloidales

Las coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y,z)}$  se pueden obtener a partir de las coordenadas elipsoidales ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$  mediante las ecuaciones^[1]​

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}$ 

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}$ 

${\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -b-c}$ 

con

${\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}$ 

En consecuencia, las superficies de ${\displaystyle \mu }$  constante son paraboloides elípticos que se abren hacia abajo:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$ 

De manera similar, las superficies de ${\displaystyle \nu }$  constante son paraboloides elípticos que se abren hacia arriba,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}$ 

mientras que las superficies de ${\displaystyle \lambda }$  constante son paraboloides hiperbólicos:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$ 

Los factores de escala para las coordenadas paraboloidales ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$  son^[2]​

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$ 

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$ 

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$ 

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$ 

Los operadores diferenciales comunes se pueden expresar en las coordenadas ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$  sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales para estos operadores, que son aplicables a cualquier coordenada ortogonal tridimensional. Por ejemplo, el operador gradiente es

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$ 

y el operador laplaciano es

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$ 

Las coordenadas paraboloidales pueden ser útiles para resolver ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo, la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz son ambas separables en coordenadas paraboloidales. Por lo tanto, las coordenadas se pueden utilizar para resolver estas ecuaciones en geometrías con simetría paraboloidal, es decir, con condiciones de contorno especificadas en secciones de paraboloides.

La ecuación de Helmholtz es ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$ . Tomando ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$ , las ecuaciones separadas son^[3]​

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$ 

donde ${\displaystyle \alpha _{2}}$  y ${\displaystyle \alpha _{3}}$  son las dos constantes de separación. De manera similar, las ecuaciones separadas para la ecuación de Laplace se pueden obtener estableciendo ${\displaystyle k=0}$  en la expresión anterior.

Cada una de las ecuaciones separadas se puede expresar en la forma de la ecuación de Baer. Sin embargo, la solución directa de las ecuaciones es difícil, en parte porque las constantes de separación ${\displaystyle \alpha _{2}}$  y ${\displaystyle \alpha _{3}}$  aparecen simultáneamente en las tres ecuaciones.

Siguiendo el enfoque anterior, se han utilizado coordenadas paraboloidales para resolver el comportamiento de un campo eléctrico generado por un paraboloide conductor.^[4]​

• Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Separable Boundary-Value Problems in Physics. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0. 
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 664. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515. 
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 184–185. LCCN 55010911. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. 
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd edición). Orlando, FL: Academic Press. pp. 119–120. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 98. LCCN 67025285. 
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u_k por ?_k.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2. 

• Descripción de MathWorld de las coordenadas paraboloidales confocales