Atraktoro

Dinamika sistemo estas ĝenerale priskribita de nombro da diferencialoj aŭ diferencaj ekvacioj. La ekvacioj de ĉiu dinamika sistemo specifas ĝian konduton dum ajna mallonga tempoperiodo. Por determini la konduton de la sistemo por pli longa periodo, oni ofte devas integrigi la ekvaciojn, aŭ analize aŭ ripetade, ofte kun komputila helpo.

Dinamikaj sistemoj en fiziko ofte ekestiĝas en malkonservaj sistemoj: krom per iu forto, moviĝo ĉesus. (Malkonservado povas rezulti de interna frotado, termodinamikaj perdoj aŭ perdo de materialo, interalie.) Malkonservado kaj la moviga forto kutime ekvilibriĝas, malestigante komencajn transientojn kaj estigante la sistemon en ĝia tipa konduto. La subaro de la faza spaco de la dinamika sistemo kiu korespondas al la tipa konduto estas la atraktoro, ankaŭ konata kiel la allogantaro aŭ alloganta sekcio.

Malvariaj aroj kaj limaj aroj estas similaj al la koncepto de atraktoro. Malvaria aro estas aro kiu evoluas al si mem tra la dinamiko. Atraktoroj povas enhavi malvariajn arojn. Lima aro estas aro de punktoj tia ke ekzistas komenca stato kiu estiĝas laŭvole proksima al la lima aro (t.e. al ĉiu punkto de la aro) kiam tempo senfiniĝas. Ĉiu atraktoro estas lima aro, sed ne ĉiu lima aro estas atraktoro: eblas ke kelkaj punktoj de sistemo konverĝas al lima aro, sed aliaj punktoj, kiam maltrankviligitaj iomete de la lima aro, povas frapiĝi de ĝi kaj neniam reveni en la proksimecon de la lima aro.

Ekzemple, la malkonservema pendolo havas du malvariajn punktojn: la punkto x0 de minimuma alteco kaj la punkto x1 de maksimuma alteco. La punkto x0 estas ankaŭ lima aro, ĉar trajektorioj konverĝas al ĝi; la punkto x1 ne estas lima aro. Pro la malkonservado, la punkto x0 estas ankaŭ atraktoro. Se ne estiĝŭ malkonservado, x0 ne estus atraktoro.

t reprezentu tempon kaj f(t, •) estu funkcio kiu specifas la dinamikon de la sistemo. Tio estas, se a estas n-dimensia punkto en la faza spaco, reprezentanta la komencan staton de la sistemo, tiam f(0, a) = a kaj, por pozitiva valoro de t, f(t, a) estas la rezulto de la evoluo de ĉi tiu stato post t unuoj de tempo. Ekzemple, se la sistemo priskribas la evoluon de libera ero en unu dimensio, tiam la faza spaco estas la ebenaĵo R2 kun koordinatoj (x,v), kie x estas la pozicio de la ero, v estas ĝia rapideco, a =(x,v) kaj la evoluo estas donita de

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$ 

Atraktoro estas subaro A de la faza spaco karakterizita de la sekvantaj tri kondiĉoj:

• A estas antaŭen malvaria sub f: se a estas ero en A tiam tio pravas por f(t,a), por ĉiuj t > 0.
• Ekzistas najbaraĵo de A, vokita la baseno de allogo por A kaj indikita B(A), kiu konsistas de ĉiuj punktoj b kiu "eniras A-on je la limo t → ∞". Pli formale, B(A) Estas la aro de ĉiuj punktoj b en la faza spaco kun la sekvanta eco:

Por ĉiu ajn malferma najbaraĵo N el A, ekzistas pozitiva konstanto T tiel ke f(t,b) ∈ N por ĉiuj reala nombro t > T.

• Ne ekzistas vera (ne malplena) subaro de A kiu havas la unuajn du ecojn.

Ĉar la baseno de allogo enhavas malfermaĵon enhavantan A-on, ĉiu punkto, kiu estas sufiĉe proksima al A estas allogita al A. La difino de atraktoro uzas metrikon sur la faza spaco, sed la rezultinta ideo ofte dependas nur sur la topologio de la faza spaco. En la kazo de Rn, la Eŭklida normo estas kutime uzita.

Multaj aliaj difinoj de atraktoro troviĝas en la literaturo. Ekzemple, kelkaj aŭtoroj postulas ke atraktoro havu pozitivan mezuron (malligante punkton de esti atraktoro), aliaj malstreĉas la postulon ke B(A) estu najbaraĵo^[2]

Atraktoroj estas partoj aŭ subaroj de la faza spaco de dinamika sistemo. Ĝis la 1960aj jaroj, oni pensis ke atraktoroj estas simplaj geometriaj subaroj de la faza spaco, kiel punktoj, linioj, surfacoj kaj simplaj regionoj de tri-dimensia spaco. Oni sciis pri pli kompleksaj atraktoroj kiu ne povas esti klasifikitaj kiel simplaj geometriaj subgrupoj, kiel topologie frenezaj aroj, estis tiam konataj, sed oni konsideris ilin delikataj anomalioj. Stephen Smale montris ke lia huffera mapo estis fortika kaj ke ĝia atraktoro havis la strukturon de aro de aro de Cantor.

Du simplaj atraktoroj estas la fiksa punkto kaj la lima ciklo. Atraktoroj povas havi multajn aliajn geometriajn formojn kiel subaroj de faza spaco. Sed kiam tiuj aroj (aŭ la moviĝoj ene de ili) ne povas esti facile priskribitaj kiel simplaj kombinaĵoj (ekz. interkruciĝo kaj unio) de fundamentaj geometriaj objektoj (ekz. linioj, surfacoj, sferoj, toroj, sternaĵoj), tiam la atraktoro nomiĝas strangan atraktoro.

Fiksa punkto de funkcio aŭ transformo estas punkto kiu estas mapita al ĝi mem de la funkcio aŭ transformo. Se ni rigardas la evoluon de dinamika sistemo kiel serio de transformoj, tie povas aŭ ne povas esti punkto kiu restas fiksa je ĉiu transformo. La fina stato al kiu dinamika sistemo evoluas respondas al alloganta fiksa punkto de la evolua funkcio por tiu sistemo, kiel ekzemple la centra malsupra pozicio je malkonservema pendolo, la nivela kaj plata akvolinio de moviĝeganta akvo en glaso aŭ la malsupra centro de bovlo enhavanta ruladan globeton. Sed la fiksa punkto(j) de dinamika sistemo ne nepre estas atraktoroj de la sistemo. Ekzemple, se la bovlo enhavanta ruladan globeton estis inversigita kaj la globeto ekvilibrigita supre de la bovlo, la centra malsupro (nun supro) de la bovlo estus fiksa stato, sed ne estas atraktoro. Tio ĉi estas ekvivalenta al la diferenco inter stabila kaj malstabila ekvilibro. En la kazo de globeto supre de inversa bovlo, tiu punkto ĉe la supro de la bovlo estas fiksa punkto (ekvilibro), sed ne estas atraktoro (stabila ekvilibro).

Krome, fizikaj dinamikaj sistemoj kun almenaŭ unu fiksa punkto kutime havas multoblajn fiksajn punktojn kaj atraktorojn pro la realaĵoj de dinamiko en la fizika mondo, inkluzive de la nelineara dinamiko de glufrotado, movfrotado, surfaca malglateco, deformiĝo (ambaŭ elasta kaj plasta) kaj eĉ kvantuma mekaniko.^[3] En la kazo de globeto supre de inversa bovlo, eĉ se la bovlo ŝajnas perfekte duonsfera kaj la globeto perfekte sfera, ambaŭ estas multe pli kompleksaj surfacoj kiam ekzamenitaj sub mikroskopo kaj iliaj formoj ŝanĝiĝas aŭ deformiĝas dum kontakto. Ĉiu fizika surfaco povas esti konsiderata havi aspran terenon de multoblaj pintoj, valoj, seloj, spinoj, ravinoj kaj ebenaĵoj.^[4] Estas multaj punktoj en ĉi tiu surfaca tereno (kaj la dinamika sistemo de simile aspra globeta rulanta sur ĉi tiu mikroskopa tereno) kiuj estas konsiderataj sojlaj aŭ fiksaj punktoj, kelkaj el kiuj estas klasifikataj kiel atraktoroj.

En diskrete-tempa sistemo,atraktoro  povas preni la formon de limigita nombro de punktoj kiu estas vizititaj en sinsekvo. Ĉiu de ĉi tiuj punktoj nomiĝas perioda punkto. Tio ĉi estas ilustrita de la loĝistika mapo, kiu depende de ĝia specifa parametra valoro povas havi atraktoron konsistantan de 2n punktoj, 3×2n punktoj, ktp., por ajna valoro de n.

Lima ciklo estas perioda orbito de la sistemo kiu estas izolita. Ekzemploj inkludas la svingojn de pendolhorloĝo, la agordantan cirkvito de radioaparato kaj la korbato dum ripozo. (La lima ciklo de ideala pendolo ne estas ekzemplo de limcikla atraktoro ĉar ĝiaj orbitoj ne estas izolitaj: en la faza spaco de la ideala pendolo, proksime al ajna punkto de perioda orbito estas alia punkto kiu apartenas al malsama perioda orbito, do la unua orbito ne allogas).

Tie povas esti pli ol unu frekvenco en la perioda trajekto de la sistemo tra la stato de lima ciklo. Ekzemple, en fiziko, unu frekvenco povas regi la rapidecon de planedo kiu orbitas stelon dum dua frekvenco priskribas la osciladon en la distanco inter la du korpoj. Se du el ĉi tiuj frekvencoj formas neracionalan frakcion, la trajekto ne plu fermiĝas kaj la lima ciklo fariĝas lima toro. Ĉi tiu speco de attractor estas vokita Nt-torus se estas Nt incommensurate oftecoj. Ekzemple ĉi tie estas 2-torus:

Tempa serio kiu korespondas al ĉi tia atraktoro estas duonperioda serio. Tia tempa serio ne havas striktan periodecon, sed ĝia povuma spektro ja konsistas nur de akraj linioj.

Atraktoro estas vokita stranga se ĝi havas fraktalan strukturon. Tio ĉi ofte okazas kiam la dinamiko sur ĝi estas kaosa, sed ankaŭ ekzistas strangaj nonkaosaj atraktoroj. Se stranga atraktoro estas kaosa, elmontranta senteman dependecon sur komencaj kondiĉoj, tiam ajnaj du alternativaj komencaj punktoj en la atraktoro, laŭvole proksimaj, post sufiĉa nombro de iteracioj rezultos en punktoj kiu estas laŭvole malproksimaj (ene de la limoj de la atraktoro) kaj post sufiĉa alia nombro de iteracioj rezultos en punktoj kiu estas laŭvole proksimaj. Tial ĉi dinamika sistemo kun kaosa atraktoro estas loke malstabila sed tamen entute stabila: kiam sinsekvo eniras la atraktoron, proksimaj punktoj malproksimiĝas unu de la alia, sed ili neniam foriras el la atraktoro.

La termino stranga atraktoro estis elpensita de David Ruelle kaj Floris Takens por priskribi la atraktoron rezultanta de serio de duforkiĝoj de sistemo priskribanta fluidan fluon.^[5]

Ekzemploj de strangaj atraktoroj inkludas la duoble-volvan atraktoron,  la Hénon atraktoron, la Rössler atraktoron, la Tamari atraktoron kaj la Lorenz atraktoron.

Specifa funkcia formo de dinamika ekvacio povas havi diversajn tipojn de atraktoro depende de la specifaj valoroj de parametroj uzitaj en la funkcio. Ekzemplo estas la loĝistika mapo, x_{t+1}=rx_t(1-x_t), kies basenoj de allogo por diversaj valoroj de la parametro r estas montritaj en la skemo. Ĉe kelkaj valoroj de la parametro la atraktoro estas nur unu punkto, ĉe aliaj ĝi estas du punktoj kiuj estas vizititaj foje, ĉe aliaj ĝi estas 2n punktoj aŭ k × 2n punktoj kiu estas vizititaj en sinsekvo, kun la valoro de n dependanta de la valoro de la parametro r kaj ĉe aliaj valoroj de r senfina nombro de punktoj estas vizitata.

La baseno de allogo de atraktoro estas la regiono de la faza spaco, kie oni difinis iteraciojn, tia ke ajna punkto (ajna komenca kondiĉo) en tiu regiono poste iteraciiĝos en la atraktoron. Por stabila lineara sistemo, ĉiu punkto en la faza spaco estas en la baseno de allogo. Male, en nelinearaj sistemoj, kelkaj punktoj povas mapiĝi rekte aŭ lime al senfineco, dum aliaj punktoj povas esti en alia baseno de allogo kaj mapiĝi lime en alian atraktoron; aliaj komencaj kondiĉoj povas esti aŭ rekte mapiĝi en ne-alloganta punkto aŭ ciklo.

Unuvariabla lineara diferenca ekvacio de la homogena formo x_t=ax_{t-1} malkonverĝas al senfineco se |a| > 1, de ĉiuj komencaj punktoj krom 0; malestas atraktoro kaj sekve baseno de allogo. Sed se |a| < 1, ĉiuj punktoj sur la nombra linia mapiĝas asimptote (aŭ rekte en la kazo de 0) al 0; 0 estas la atraktoro kaj la tuta nombra linio estas la baseno de allogo.

Same, lineara matrica diferencekvacio en dinamika vektoro X, havante la homogenan formon X_t=AX_{t-1} en terminoj de kvadrata matrico A havos ĉiujn elementojn de la dinamika vektoro malkonverĝi al senfineco se la plej granda ejgeno de A estas pli granda ol 1 en absoluta valoro; malestas atraktoro kaj baseno de allogo. Sed se la plej granda ejgeno estas malpli ol 1 en absoluta valoro, ĉiuj komencaj vektoroj asimptote konverĝas al la nula vektoro, kiu estas la atraktoro; la tuta n-dimensia spaco de potencialaj komencaj vektoroj estas la baseno de allogo.

Similaj trajtoj troviĝas en linearaj diferencialaj ekvacioj. La skalara ekvacio dx/dt =ax igas ĉiujn komencajn valorojn de x krom nulo malkonverĝi al senfineco se a > 0, sed konverĝi al atraktoro ĉe la valoro 0 se a < 0, igante la tutan nombran linion la baseno de allogo por 0. Kaj la matrica sistemo dX/dt=AX rezultas en malkonverĝo je ĉiuj komencaj punktoj krom la vektoro de nuloj se ajna ejgeno de la matrico A estas pozitiva; sed se ĉiuj la ejgenoj estas negativaj, la vektoro de nuloj estas atraktoro kies baseno de allogo estas la tuta faza spaco.

Ekvacioj aŭ sistemoj kiu estas nelinaraj[1] povas estigi pli riĉan variadon de konduto ol linearaj sistemoj. Ekzemplo estas la metodo de Neŭtono pri iteraciadi al radiko de nelineara esprimo. Se la esprimo havas pli ol unu realan radikon, kelkaj komencaj punktoj por la iteracia algoritmo rezultos en unu el la radikoj asimptote kaj aliaj komencaj punktoj rezultos en alia. La basenoj de allogo por la radikoj de la esprimo estas ĝenerale ne simplaj—ne estas simple ke la punktoj plej proksimaj al unu radiko ĉiuj mapiĝas tie, donante basenon de allogo konsistantan de apudaj punktoj. La basenoj de allogo povas esti senlimaj en nombro kaj laŭvole malgrandaj. Ekzemple, por la funkcio f(x)=x^3-2x^2-11x+12, la sekvantaj komencaj kondiĉoj estas en sinsekvaj basenoj de allogo:^[6]

2.35287527 konverĝas al 4;

2.35284172 konverĝas al −3;

2.35283735 konverĝas al 4;

2.352836327 konverĝas al −3;

2.352836323 konverĝas al 1.

La metodo de neŭtono ankaŭ povas esti aplikata al kompleksaj funkcioj por trovi iliajn radikojn. Ĉiu radiko havas basenon de allogo en la kompleksa ebeno; ĉi tiuj basenoj povas esti mapitaj kiel en la bildo montrita. Kiel oni vidas, la tuta baseno de allogo por aparta radiko povas kunmetiĝi de multaj apartiĝantaj regionoj. Por multaj kompleksaj funkcioj, la limoj de la basenoj de allogo estas fraktaloj.

Parabolaj partaj diferencialaj ekvacioj povas havi fini-dimensian atraktoron. La malkonserva parto de la ekvacio malfortigas pli altajn frekvencojn kaj en kelkaj kazoj rezultas en tutspaca atraktoro. La ekvacioj de Ginzburg–Landau, de Kuramoto–Sivashinsky kaj la du-dimensia, devigita Navier–Stokes ekvacio ĉiuj havas tutspacan atraktoron finidimensian.

Por la tri-dimensia, nekomprimebla Navier–Stokes ekvacio kun periodaj limaj kondiĉoj, se ĝi havas tutspacan atraktoron, ĉi tiu atraktoro estas fini-dimensia.