Μετάβαση στο περιεχόμενο

Χρήστης:Vasilesp/Πρόχειρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

 Η άλγεβρα (από το αραβικό "al-jabr" που σημαίνει "επανένωση των σπασμένων μερών"[1]) είναι ένα από τα μεγάλα τμήματα των μαθηματικών, μαζί με την θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και την ανάλυση. Στην πιο γενική της μορφή, η άλγεβρα είναι η μελέτη των μαθηματικών συμβόλων και των κανόνων για το χειρισμό αυτών των συμβόλων * [2] είναι ένα ενοποιητικό νήμα σχεδόν όλων των μαθηματικών.[3] Ως εκ τούτου, περιλαμβάνει τα πάντα, από την επίλυση της στοιχειώδης εξίσωσης μέχρι και τη μελέτη των αφηρημένων εννοιών όπως ομάδες, δακτυλίους, και πεδία. Τα πιο βασικά μέρη της άλγεβρας ονομάζονται στοιχειώδη άλγεβρα, τα πιο αφηρημένα μέρη καλούνται αφηρημένη άλγεβρα ή σύγχρονη άλγεβρα.Η στοιχειώδης άλγεβρα θεωρείται  γενικά ότι είναι απαραίτητη για τη μελέτη των μαθηματικών, της φυσικής, ή της μηχανικής, καθώς και εφαρμογών όπως η ιατρική και η οικονομία. Η αφηρη��ένη άλγεβρα είναι μια μεγάλη περιοχή στα προχωρημένα μαθηματικά, έχει μελετηθεί κυρίως από επαγγελματίες μαθηματικούς. Πολύ πρώιμο έργο στην άλγεβρα, όπως η αραβική προέλευση της που υποδηλώνει το όνομά της, έγινε στην Μέση Ανατολή, από μαθηματικούς όπως al-Khwārizmī (780 – 850) και Ομάρ Καγιάμ (1048-1131).[4][5]

Η στοιχειώδης άλγεβρα διαφέρει από την αριθμητική στην χρήση αφηρημένων εννοιών, όπως η χρήση γραμμάτων που αντιπροσωπεύουν αριθμούς που είναι είτε άγνωστοι ή επιτρέπεται να πάρουν πολλές τιμές.[6] Για παράδειγμα,στην   το γράμμα είναι άγνωστο, αλλά ο νόμος των αντίστροφων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ανακαλύψουμε την τιμή του: . Στην E = mc2, τα γράμματα και  είναι μεταβλητές, και το γράμμα είναι μια σταθερά, η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η άλγεβρα δίνει μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων και εκφράζει  τύπους που είναι πολύ πιο εύκολοι (για εκείνους που ξέρουν πώς να τους χρησιμοποιούν) από την παλαιότερη μέθοδο γραφής των πάντων με λέξεις.

Η λέξη άλγεβρα χρησιμοποιείται επίσης  με ορισμένους εξειδικευμένους τρόπους. Ένα ιδιαίτερο είδος μαθηματικού αντικειμένου στην αφηρημένη άλγεβρα ονομάζεται "άλγεβρα", και η λέξη χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στις φράσεις γραμμική άλγεβρα και αλγεβρική τοπολογία.

Ένας μαθηματικός που κάνει  έρευνα στην άλγεβρα ονομάζεται  αλγεβρικός διερευνητής.

Ετυμολογία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η λέξη άλγεβρα προέρχεται από την αραβική الجبر (al-jabr "αποκατάσταση") από τον τίτλο του βιβλίου Ilm al-jabr wa αδυναμία l-muḳābala από τον al-Khwarizmi. Η λέξη εισήλθε στην αγγλική γλώσσα κατά τη διάρκεια του δέκατου πέμπτου αιώνα, είτε από τα ισπανικά,τα ιταλικά, ή τη Μεσαιωνική λατινική. Αρχικά αναφέρεται στη χειρουργική διαδικασία της ρύθμισης των σπασμένων ή εξαρθρωμένων οστών. Η μαθηματική έννοια καταγράφηκε για πρώτη φορά τον δέκατο έκτο αιώνα.[7]

Διαφορετικές έννοιες της "άλγεβρας"

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η λέξη "άλγεβρα" έχει πολλές σχετικές έννοιες στα μαθηματικά, ως μία μόνο λέξη ή με προσδιοριστικά.

  • Ως μια λέξη χωρίς το άρθρο,η  "άλγεβρα" ονοματίζει ένα ευρύ τμήμα των μαθηματικών.
  • Ως μία λέξη με το άρθρο ή στον πληθυντικό,η "άλγεβρα", δηλώνει μια συγκεκριμένη μαθηματική δομή, της οποίας ο ακριβής ορισμός εξαρτάται από τον συγγραφέα. Συνήθως η δομή έχει μια προσθήκη, πολλαπλασιασμό και ένα κλιμακωτό πολλαπλασιασμό (βλ Άλγεβρα πάνω από το πεδίο). Όταν μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο "άλγεβρα", κάνουν ένα υποσύνολο από τις ακόλουθες επιπλέον παραδοχές:προσεταιριστική,αντιμεταθετική,ταυτοτική , και/ή πεπερασμένων διαστάσεων. Στην καθολική άλγεβρα, η λέξη "άλγεβρα" αναφέρεται σε μια γενίκευση της παραπάνω έννοιας, η οποία επιτρέπει τις n-ary πράξεις.
  • Με ένα προσδιοριστικό, υπάρχει η ίδια διάκριση:
    • Χωρίς το άρθρο, αυτό σημαίνει ότι ένα μέρος της άλγεβρας, όπως η γραμμική άλγεβρα,η  στοιχειώδης άλγεβρα (κανόνες που διδάσκονται στα "στοιχειώδη μαθήματα των μαθηματικών" σαν μέρος της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης), ή η αφηρημένη άλγεβρα (η μελέτη των αλγεβρικών δομών για τον εαυτό τους).
    • Με ένα άρθρο, αυτό σημαίνει την παρουσία κάποιων αφηρημένων δομών, όπως η  άλγεβρα Lie, η προσεταιριστική άλγεβρα, ή η άλγεβρα με φορέα vertex.
    • Μερικές φορές και τα δύο νοήματα υπάρχουν για το ίδιο προσδιοριστικό, όπως στην πρόταση:Η  Αντιμεταθετική άλγεβρα είναι η μελέτη των αντιμεταθετικών δακτύλιων,οι οποίοι είναι αντιμεταθετικές άλγεβρες πάνω από τους ακέραιους.

Η άλγεβρα ως κλάδος των μαθηματικών

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άλγεβρα ξεκίνησε με υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς της αριθμητικής, με γράμματα αντι για τους αριθμούς.[6] Αυτό επέτρεψε να αποδειχθούν  ιδιότητες που είναι αληθείς ανεξάρτητα από τους αριθμούς που εμπλέκονται. Για παράδειγμα,στη δευτεροβάθμια εξίσωση

τα  μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί  (εκτός του ότι το  δεν μπορεί να είναι ), και η δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε γρήγορα και εύκολα  την τιμή της άγνωστης ποσότητας .

Καθώς αναπτύσσονταν, η άλγεβρα  επεκτάθηκε και σε άλλα μη-αριθμητικά αντικείμενα, όπως τα διανύσματα,οι μήτρες, και τα πολυώνυμα. Στη συνέχεια, οι δομικές ιδιότητες αυτών των μη-αριθμητικών αντικειμένων αφαιρέθηκαν για να οριστούν  αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία.

Πριν από τον 16ο αιώνα, τα μαθηματικά, χωρίζονταν σε δύο μόνο υποπεδία,την αριθμητική και τη γεωμετρία. Παρόλο που ορισμένες από τις μεθόδους, οι οποίες είχαν αναπτυχθεί πολύ νωρίτερα, μπορούν να θεωρηθούν στις μέρες μας, ως άλγεβρα, η εμφάνιση της άλγεβρας και, αμέσως μετά, του απειροστικού λογισμού , ως υποπεδία των μαθηματικών  χρονολογείται από τον 16ο ή τον 17ο αιώνα. Από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, πολλά νέα πεδία των μαθηματικών εμφανίστηκαν,τα περισσότερα από αυτά έκαναν χρήση και της αριθμητικής και της γεωμετρίας, και σχεδόν όλων εκείνων που χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα.

Σήμερα, η άλγεβρα έχει αυξηθεί μέχρι να περιλαμβάνει πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως μπορεί να δει κανείς στο Μαθηματικό Θέμα Ταξινόμηση[8] όπου κανείς από το πρώτο επίπεδο περιοχών (διψήφιες καταχωρήσεις)δεν ονομάζεται άλγεβρα. Σήμερα η άλγεβρα περιλαμβάνει την ενότητα 08-Γενικά αλγεβρικά συστήματα, 12-θεωρία Πεδίου και πολυώνυμα, 13-Αντιμεταθετική άλγεβρα, 15-Γραμμική και πολυγραμμική άλγεβρα *τη θεωρία πινάκων, 16-Προσαιτεριστικοί δακτύλιοι και άλγεβρες, 17-Μη-προσαιτεριστικοί δακτύλιοι και άλγεβρες, 18-Κατηγορία θεωρία; ομολογιακή άλγεβρα, 19-Κ-θεωρία και 20-θεωρία ομάδων. Η άλγεβρα , επίσης, χρησιμοποιείται ευρέως στη 11-θεωρία αριθμών και στην 14-Αλγεβρική γεωμετρία.

Ιστορία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρώιμη ιστορία της άλγεβρας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Μια σελίδα από το Al-Khwārizmī's al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

Οι ρίζες της άλγεβρας, μπορούν να εντοπιστούν στους αρχαίους Βαβυλώνιους,[9] οι οποίοι ανέπτυξαν ένα προηγμένο αριθμητικό σύστημα με το οποίο ήταν σε θέση να κάνουν  υπολογισμούς με ένα αλγοριθμικό ��ρόπο. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τύπους για να υπολογίζουν τις λύσεις για τα προβλήματα που συνήθως λύνονται σήμερα με τη χρήση γραμμικών εξισώσεων, τετραγωνικών εξισώσεων, και απροσδιόριστων γραμμικών εξισώσεων. Αντίθετα, οι περισσότεροι Αιγύπτιοι της εποχής αυτής, καθώς και Έλληνες καιΚινέζοι μαθηματικοί στην 1η χιλιετία Π. χ., συνήθως έλυναν τέτοιες εξισώσεις με γεωμετρικές μεθόδους, όπως αυτές που περιγράφονται στο Rhind Μαθηματικό Πάπυρο, στα στοιχεία του Ευκλείδη, και Τα Εννέα Κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη. Το γεωμετρικό έργο των Ελλήνων, που χαρακτηρίζεται από Στοιχεία, παρείχε το πλαίσιο για γενίκευση τύπων πέρα από την λύση των συγκεκριμένων προβλημάτων σε γενικότερα συστήματα  διατύπωσης και επίλυσης εξισώσεων, αν και αυτό δεν είχε παρατηρηθεί μέχρι τα μαθηματικά να αναπτυχθούν στο μεσαιωνικό Ισλάμ.[10]

Από την εποχή του Πλάτωνα, οι Έλληνες μαθηματικοί είχαν υποστεί μια δραστική αλλαγή. Οι Έλληνες δημιούργησαν μια γεωμετρική άλγεβρα που οι όροι της εκπροσωπούνταν από τις πλευρές των γεωμετρικών αντικειμένων, συνήθως γραμμές, που είχαν γράμματα που συνδέονταν με αυτούς.[6] Ο Διόφαντος (3ο αιώνα μ. χ.) ήταν ένας Αλεξανδρινός έλληνας μαθηματικός και συγγραφέας μιας σειράς βιβλίων με τον τίτλο Arithmetica. Αυτά τα κείμενα ασχολιόντουσαν με την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων,[11] και οδήγησαν, από τη θεωρία των αριθμών  στην σύγχρονη έννοια της Διοφαντικής εξίσωσης.

Παλαιότερες παραδόσεις που συζητήθηκαν παραπάνω είχαν άμεση επίδραση στον Πέρση Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (γ. 780-850). Ο ίδιος έγραψε αργότερα, Το Συνοπτικό Βιβλίο για Υπολογισμό με  Ολοκλήρωση και Εξισορρόπηση, το οποίο καθιέρωσε την άλγεβρα ως μαθηματική δομή που είναι ανεξάρτητη από την γεωμετρία και την αριθμητική.[12]

Οι Ελληνιστικοί μαθηματικοί Ήρων της Αλεξάνδρειας και Διόφαντος[13] , καθώς και Ινδοί μαθηματικοί όπως ο Brahmagupta συνέχισαν τις παραδόσεις της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας, αν και η Arithmetica του Διόφαντου και το  Brahmasphutasiddhanta του Brahmagupta   είναι σε ένα υψηλότερο επίπεδο.[14] Για παράδειγμα, η πρώτη ολοκληρωμένη αριθμητική λύση (συμπεριλαμβανομένης της μηδενικής και των αρνητικών λύσεων) για  δευτεροβάθμιες εξισώσεις περιγράφεται από τον Brahmagupta στο βιβλίο του Brahmasphutasiddhanta. Αργότερα, Πέρσοι και  Άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν αλγεβρικές μεθόδους σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό πολυπλοκότητας. Αν και ο Διόφαντος και οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ως επί το πλείστον ειδικές ad hoc μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων,η συμβολή του Al-Khwarizmi  ήταν καθοριστική. Έλυσε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, χωρίς αλγεβρικό συμβολισμό, τους αρνητικούς αριθμούς ή το μηδέν, έτσι έπρεπε να διακρίνει διάφορα είδη εξισώσεων.[15]

Στο πλαίσιο που η άλγεβρα ταυτίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων, ο έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ήταν ανέκαθεν γνωστός ως ο "πατέρας της άλγεβρας", αλλά τα τελευταία χρόνια υπάρχει μεγάλη συζήτηση για το αν ο al-Khwarizmi, ο οποίος ίδρυσε την πειθαρχία της al-jabr, αξίζει τον τίτλο αυτό.[16] Εκείνοι που υποστηρίζουν τον Διόφαντο επικεντρώνονται στο γεγονός ότι η άλγεβρα που βρέθηκε στην Al-Jabr είναι ελαφρώς πιο στοιχειώδης από την άλγεβρα που βρέθηκε στο Arithmetica και οτι το Arithmetica  συνκόπτεται, ενώ η Al-Jabr είναι πλήρως ρητορική.[17] Εκείνοι που υποστηρίζουν τον Al-Khwarizmi επικεντρώνονται στο γεγονός ότι εισήγαγε τις μεθόδους της "μείωσης" και "εξισορρόπησης" (η μεταφορά των αφηρημένων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, που είναι η ακύρωση των όρων like  στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης), που ο όρος al-jabr αρχικά αναφέρεται,[18] και ότι έδωσε μια λεπτομερή εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων,[19] που υποστηρίζονται από γεωμετρικές αποδείξεις, ενώ αναδεικνύει την άλγεβρα ως ανεξάρτητη .[20] Η άλγεβρα του , επίσης, δεν αφορά πλέον " μια σειρά από προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση η οποία ξεκινά με την πρωτόγονη άποψη στην οποία οι συνδυασμοί πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά πρωτότυπα για τις εξισώσεις, τα οποία στο εξής ρητά αποτελούν το πραγματικό αντικείμενο της μελέτης". Δημιούργησε επίσης μια εξίσωση για τους δικούς του λόγους και "σε ένα γενικό τρόπο, εφόσον δεν προκύψουν κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά είναι συγκεκριμένο να ορίσετε μια άπειρη κλάση των προβλημάτων".[21]

Ένας άλλος Πέρσης μαθηματικός ο Ομάρ Καγιάμ ασχολήθηκε με τον προσδιορισμό των θεμελίων της αλγεβρικής γεωμετρίας και με την εύρεση της γενικής γεωμετρικής λύσης της κυβικής εξίσωσης. Ακόμα ένας Πέρσης μαθηματικός,ο Sharaf al-Dīn al-Tūsī, βρήκε αλγεβρικές και αριθμητικές λύσεις για διάφορες περιπτώσεις των κυβικών εξισώσεων.[22] Επίσης ανέπτυξε την έννοια της συνάρτησης.[23] Οι Ινδοί μαθηματικοί Μαχαβίρα και Bhaskara II, ο Πέρσης μαθηματικός Al-Karaji,[24] και ο Κινέζος μαθηματικός Zhu Shijie, έλυσαν διάφορες περιπτώσεις κυβικών, τεταρτοβάθμιων,πεμπτοβάθμιων  και ανώτερης τάξης πολυωνυμικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους. Τον 13ο αιώνα, η λύση μιας κυβικής εξίσωσης από τον Fibonacci είναι αντιπροσωπευτική για την αρχή της ανάκαμψης στην Ευρωπαϊκή άλγεβρα. Όπως ο Ισλαμικός κόσμος ήταν σε παρακμή, ο Ευρωπαϊκός κόσμος ήταν σε ακμή . Και εδώ είναι που η άλγεβρα αναπτύχθηκε περαιτέρω.

Ιστορία της άλγεβρας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εργασίες του François Viète σχετικά με τη νέα άλγεβρα στο τέλος του 16ου αιώνα ήταν ένα σημαντικό βήμα προς τη σύγχρονη άλγεβρα. Το 1637, ο René Descartes δημοσίευσε το La Géométrie, εφηύρε την αναλυτική γεωμετρία και εισήγαγε τη σύγχρονη  αλγεβρική σημειογραφία. Ένα άλλο σημαντικό γεγονός για την περαιτέρω ανάπτυξη της άλγεβρας ήταν η γενική αλγεβρική λύση των κυβικών και τεταρτοβάθμιων εξισώσεων, που αναπτύχθηκε στα μέσα του 16ου αιώνα. Η ιδέα μιας Ορίζουσας αναπτύχθηκε από την Γιαπωνέζα μαθηματικό Seki Kowa τον 17ο αιώνα, που ακολουθείθηκε ανεξάρτητα από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς δέκα χρόνια αργότερα, με σκοπό την επίλυση συστημάτων ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας μήτρες.Ο Gabriel Cramer επίσης δούλεψε σε πίνακες και ορίζουσες τον 18ο αιώνα. Οι διατάξεις μελετήθηκαν από τον Joseph-Louis Lagrange στο έγγραφο του με τις 1770 σελίδες Réflexions sur la résolution algébrique des équations αφιερωμένο  στις λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, στο οποίο εισήγαγε την Lagrange resolvents.Ο Paolo Ruffini ήταν το πρώτο πρόσωπο που  ανέπτυξε τη θεωρία  για τη μετάθεση ομάδων,και όπως και οι προκάτοχοί του, επίσης, στο πλαίσιο της επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων.

Η Αφηρημένη άλγεβρα αναπτύχθηκε τον 19ο αιώνα,απορρέει από το ενδιαφέρον για την επίλυση εξισώσεων, αρχικά εστίαζε σε αυτό που  τώρα ονομάζεται Θεωρία Γκαλουά, και σε κατασκευαστικά θέματα.[25] Ο George Peacock ήταν ο ιδρυτής της αξιωματικής σκέψης στην αριθμητική και την άλγεβρα.Ο  Augustus De Morgan ανακάλυψε τη σχετική άλγεβρα στο έργο του εξεταστέα Ύλη του Προτεινόμενου Συστήματος της Λογικής. Ο τζοσάια Γουίλαρντ Γκιμπς ανέπτυξε μια άλγεβρα διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο, και ο Arthur Cayley ανέπτυξε μια άλγεβρα πινάκων (αυτή είναι μία μη μεταθετική άλγεβρα).[26]

Notes

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ «algebra». Online Etymology Dictionary. 
  2. ↑ I. N. Herstein, Topics in Algebra, "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964
  3. ↑ I. N. Herstein, Topics in Algebra, "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964
  4. ↑ Omar Khayyám
  5. ↑ «Omar Khayyam». Encyclopedia Britannica. Ανακτήθηκε στις 5 Οκτωβρίου 2014. 
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258) "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words.
  7. ↑ «algebra». Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 
  8. ↑ «2010 Mathematics Subject Classification». Ανακτήθηκε στις 5 Οκτωβρίου 2014. 
  9. ↑ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9. 
  10. ↑ Boyer 1991
  11. ↑ Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. σελ. 34. ISBN 1-4460-2221-8. 
  12. ↑ Roshdi Rashed (November 2009). Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra. Saqi Books. ISBN 0-86356-430-5 
  13. ↑ «Diophantus, Father of Algebra». Ανακτήθηκε στις 5 Οκτωβρίου 2014. 
  14. ↑ «History of Algebra». Ανακτήθηκε στις 5 Οκτωβρίου 2014. 
  15. ↑ Josef W. Meri (2004). Medieval Islamic Civilization. Psychology Press. σελ. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Ανακτήθηκε στις 25 Νοεμβρίου 2012. 
  16. ↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second έκδοση). Wiley. σελίδες 178, 181. ISBN 0-471-54397-7. 
  17. ↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second έκδοση). Wiley. σελ. 228. ISBN 0-471-54397-7. 
  18. ↑ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above.
  19. ↑ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root.
  20. ↑ Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
  21. ↑ Rashed, R.· Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. σελίδες 11–2. ISBN 0-7923-2565-6. OCLC 29181926 
  22. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf.html .
  23. ↑ Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (October 2007). «Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching». Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7 
  24. ↑ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. 
  25. ↑ "The Origins of Abstract Algebra".
  26. ↑ "The Collected Mathematical Papers".

[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Χρήστης:Vasilesp/Πρόχειρο&oldid=5869620"