Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

← Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

Δεν έχετε την άδεια να τροποποιήσετε αυτή τη σελίδα, για τον ακόλουθο λόγο:

Η διεύθυνση IP σας βρίσκεται σε ένα εύρος που έχει αποκλειστεί σε όλα τα wiki του Ιδρύματος Wikimedia.

Ο αποκλεισμός έγινε από ‪EPIC‬ . Ο λόγος που δίνεται είναι Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected .

Έναρξη αποκλεισμού: 08:48, 2 Ιουλίου 2024
Λήξη αποκλεισμού: 08:48, 2 Ιουλίου 2025

Η τρέχουσα διεύθυνση IP σας είναι 206.189.44.186 . Το αποκλεισμένο εύρος είναι 206.189.32.0/20 .

Παρακαλούμε συμπεριλάβετε τις παραπάνω λεπτομέρειες σε όποια ερωτήματα κάνετε. Εάν πιστεύετε ότι έχετε αποκλειστεί κατά λάθος, μπορείτε να βρείτε πρόσθετες πληροφορίες και οδηγίες στην παγκόσμια πολιτική No open proxies παγκόσμια πολιτική.

Διαφορετικά, για να συζητήσετε τον αποκλεισμό, παρακαλούμε αναρτήστε ένα αίτημα για έλεγχο στο Meta-Wiki. ⧼wikimedia-globalblocking-blockedtext-mistake- email-steward⧽

Μπορείτε να δείτε και να αντιγράψετε τον κώδικα της σελίδας:

{{Πλαίσιο π (μαθηματική σταθερά)}}

Ακολουθεί ένας κατάλογος σημαντικών τύπων που περιλαμβάνουν τη [[μαθηματική σταθερά]] [[Π (μαθηματική σταθερά)|{{Pi}}]]. Πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να βρεθούν εδώ → ''[[Π (μαθηματική σταθερά)|Π]].''

== Ευκλείδεια γεωμετρία ==

: <math>\pi = \frac Cd = \frac C{2r}</math>

όπου {{math|''C''}} είναι η [[Περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρεια]] ενός [[Κύκλος|κύκλου]], {{math|''d''}} είναι η [[διάμετρος]] και {{math|''r''}} είναι η [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]]. Γενικότερα,

: <math>A = \pi r^2</math>

όπου {{Math|''A''}} είναι το [[Εμβαδόν κύκλου|εμβαδόν ενός κύκλου]]. Γενικότερα,

: <math>A = \pi ab</math>

όπου {{Math|''A''}} είναι το εμβαδόν που περικλείεται από μια [[Έλλειψη (γεωμετρία)|έλλειψη]] με μεγάλο άξονα τον {{Math|''a''}} και μικρό άξονα τον {{Math|''b''}}.

: <math>C=\frac{2\pi}{\operatorname{agm}(a,b)}\left(a_1^2-\sum_{n=2}^\infty 2^{n-1}(a_n^2-b_n^2)\right)</math>

όπου {{Math|''C''}} είναι η περιφέρεια μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα τον {{Math|''a''}} και μικρό άξονα τον {{Math|''b''}} και <math>a_n,b_n</math> είναι οι αριθμητικές και γεωμετρικές επαναλήψεις του <math>\operatorname{agm}(a,b)</math>, δηλαδή του [[Αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)|αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (όρου)]] των {{Math|''a''}} και {{Math|''b''}} με αρχικές τιμές <math>a_0=a</math> και <math>b_0=b</math>.

: <math>A=4\pi r^2</math>

όπου {{Math|''A''}} είναι το εμβαδόν μεταξύ της [[Μάγισσα της Ανιέσι|μάγισσας της Ανιέσι]] και της ασυμπτωτικής γραμμής της. Το {{Math|''r''}} είναι η ακτίνα του κύκλου που ορίζουμε.

: <math>A=(k+1)(k+2)\pi r^2</math>

όπου {{Math|''A''}} είναι το εμβαδόν μιας [[Επικυκλοειδές|επικυκλοειδούς]] καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο να έχει ακτίνα {{Math|''r''}} και τον μεγαλύτερο κύκλο να έχει ακτίνα {{Math|''kr''}} (<math>k\in\mathbb{N}</math>), υποθέτοντας ότι το αρχικό σημείο βρίσκεται στον μεγαλύτερο κύκλο.

: <math>V = {4 \over 3}\pi r^3</math>

όπου {{Math|''V''}} είναι ο όγκος μιας [[Σφαίρα|σφαίρας]] και {{Math|''r''}} είναι η ακτίνα.

: <math>SA = 4\pi r^2</math>

όπου {{Math|''SA''}} είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας και {{Math|''r''}} είναι η ακτίνα.

: <math>H = {1 \over 2}\pi^2 r^4</math>

όπου {{Math|''H''}} είναι ο υπερόγκος μιας [[3-σφαίρα|3-σφαίρας]] και {{Math|''r''}} είναι η ακτίνα.

: <math>SV = 2\pi^2 r^3</math>

όπου {{Math|''SV''}} είναι ο όγκος της επιφάνειας μιας 3-σφαίρας και {{Math|''r''}} είναι η ακτίνα.

=== Κανονικά κυρτά πολύγωνα ===
Άθροισμα {{Math|''S''}} εσωτερικών γωνιών ενός [[Κανονικό πολύγωνο|κανονικού κυρτού πολυγώνου]] με {{Math|''n''}} πλευρές:

: <math>S=(n-2)\pi</math>

Εμβαδόν {{Math|''A''}} ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με {{Math|''n''}} πλευρές και μήκος πλευράς {{Math|''s''}}:

: <math>A=\frac{ns^2}{4}\cot\frac{\pi}{n}</math>

== Φυσική ==

* Η [[κοσμολογική σταθερά]]:
*: <math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>

* Η [[αρχή της απροσδιοριστίας]] του [[Βέρνερ Χάιζενμπεργκ|Χάιζενμπεργκ]]:
*: <math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac h {4\pi} </math>

* Ο [[νόμος του Κουλόμπ]] για την [[Νόμος του Κουλόμπ|ηλεκτρική δύναμη]] στο κενό:
*: <math> F = \frac{|q_1q_2|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>

* [[Μαγνητική διαπερατότητα]] του ελεύθερου χώρου:<ref group="note">The relation <math>\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N}/\mathrm{A}^2</math> was valid until the [[2019 revision of the SI]].</ref>
*: <math> \mu_0 \approx 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N}/\mathrm{A}^2</math>

* Περίοδος απλού [[Εκκρεμές (μηχανική)|εκκρεμούς]] με μικρό πλάτος ταλάντωσης:
*: <math>T \approx 2\pi \sqrt\frac L g </math>

* Περίοδος απλού εκκρεμούς με πλάτος <math>\theta_0</math> (<math>\operatorname{agm}</math> είναι ο [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)]]):
*: <math>T=\frac{2\pi}{\operatorname{agm}(1,\cos (\theta_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}</math>

* Περίοδος συστήματος ελατηρίου-μάζας με [[σταθερά ελατηρίου]] <math>k</math> και μάζα <math>m</math>:
*: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>

* Ο [[Νόμος αστρικών περιφορών|τρίτος νόμος του Κέπλερ]] για την κίνηση των πλανητών:
*: <math>\frac{R^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>

* Ο τύπος [[Λυγισμός|λυγισμού]]:
*: <math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}</math>

== Τύποι που υπολογίζουν το ''π'' ==

=== Ολοκληρώματα ===

: <math>2 \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi </math> (ολοκληρώνουμε δύο φορές την συνάρτηση <math>y(x)=\sqrt{1-x^2}</math> για να πάρουμε το εμβαδόν του [[Μοναδιαίος κύκλος|μοναδιαίου κύκλου]])

: <math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sech}x \, dx = \pi </math>

: <math>\int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-1/2t^2-x^2+xt} \, dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-t^2-1/2x^2+xt} \, dx \, dt = \pi</math>

: <math>\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi</math>

: <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi</math><ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly0000rudi|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|publisher=McGraw-Hill Book Company|isbn=0-07-100276-6|year=1987|edition=Third}} p. 4</ref> (κατανομή Κωσύ)

: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \pi</math> (ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

: <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math> (ολοκλήρωμα Γκάους).

: <math>\oint\frac{dz} z = 2\pi i</math> (όταν η διαδρομή της ολοκλήρωσης "τυλίγεται" μια φορά αριστερόστροφα γύρω από το 0. Δείτε επίσης [[Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy|Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ]]).

: <math>\int_0^\infty \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\, dx=\pi</math><ref>[[oeis:A000796|A000796 – OEIS]]</ref>

: <math>\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi</math>

: <math>\int_0^1 {x^2(1+x)^4 \over 1+x^2}\,dx = \pi- {17 \over 15} </math>

: <math>\int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}}{x+1}\, dx=\frac{\pi}{\sin \pi\alpha},\quad 0<\alpha<1</math>

: <math>\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x(x+a)(x+b)}}=\frac{\pi}{\operatorname{agm}(\sqrt{a},\sqrt{b})}</math> (όπου <math>\operatorname{agm}</math> είναι ο [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)]]. Δείτε επίσης [[Ελλειπτικό ολοκλήρωμα]])

Παρατηρήστε ότι στις άρτιες συναρτήσεις, <math>f(-x)=f(x)</math>, οι τύποι της μορφής <math display="inline">\int_{-a}^af(x)\,dx</math> μπορούν επίσης να γραφτούν ως <math display="inline">2\int_{0}^af(x)\,dx</math>.

=== Αποτελεσματικές άπειρες σειρές ===

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+1)!!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} = \frac \pi 2 </math> (δείτε επίσης [[Διπλό παραγοντικό]])

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{2^k(2k+1)!!}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}</math>

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}=\frac{\pi}{2}</math>

: <math> \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k}}=\frac{4270934400}{\sqrt{10005}\pi} </math> (αλγόριθμος Chudnovsky)

: <math>\sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac{9801}{2\sqrt{2}\pi} </math> (βλέπε σειρά του [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]])

Τα ακόλουθα είναι αποτελεσματικά για τον υπολογισμό αυθαίρετων δυαδικών ψηφίων του {{Pi}}:

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3}\right)=\pi</math><ref>{{Cite book|title=π Unleashed|first=Jörg|last=Arndt|first2=Christoph|last2=Haenel|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-540-66572-4|year=2001}} page 126</ref>

: <math>\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi</math> (τύπος των Bailey–Borwein–Plouffe)

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k}\left(\frac{8}{8k+2}+\frac{4}{8k+3}+\frac{4}{8k+4}-\frac{1}{8k+7}\right)=2\pi</math>

: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^k}{2^{10k}} \left( - \frac{2^5}{4k+1} - \frac{1}{4k+3} + \frac{2^8}{10k+1} - \frac{2^6}{10k+3} - \frac{2^2}{10k+5} - \frac{2^2}{10k+7} + \frac{1}{10k+9} \right)=2^6\pi</math>

Σειρά Plouffe για τον υπολογισμό αυθαίρετων δεκαδικών ψηφίων του {{Pi}}:<ref>{{Cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/nthdecimaldigit.pdf|title=Computation of the n-th decimal digit of π with low memory|last=Gourdon|first=Xavier|website=Numbers, constants and computation|page=1}}</ref>

: <math>\sum_{k=1}^\infty k\frac{2^kk!^2}{(2k)!}=\pi +3</math>

=== Άλλες άπειρες σειρές ===

: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> (δείτε επίσης [[Πρόβλημα της Βασιλείας]] και [[Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν]])

: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

: <math>\zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}}\, = \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math>, όπου ''B''<sub>2''n''</sub> είναι ένας [[αριθμός Μπερνούλι]].

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld]</ref>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{7^n - 1}{8^n}\, \zeta(n+1) = (1+\sqrt{2})\pi</math>

: <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{2(3/2)^n-3}{n}(\zeta (n)-1)=\ln \pi</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \zeta (2n)\frac{x^{2n}}{n}=\ln\frac{\pi x}{\sin \pi x},\quad 0<|x|<1</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}</math> (τύπος του Λάιμπνιτς)

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{(n^2-n)/2}}{2n+1}=1+\frac13-\frac15-\frac17+\frac19+\frac{1}{11}-\cdots=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}</math> ([[Ισαάκ Νεύτων|Νεύτων]], ''Second Letter to Oldenburg'', 1676)<ref>{{Cite book|title=Algebra, an Elementary Text-book: Part II|first=G.|last=Chrystal|year=1900|page=335}}</ref>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}=1-\frac{1}{3^1\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\cdots =\sqrt{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}</math> (σειρά Madhava)

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{12}</math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{24}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right)^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right)^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}</math>

Γενικότερα,

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}=(-1)^{k}\frac{E_{2k}}{2(2k)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1},\quad k\in\mathbb{N}_0</math>

όπου <math>E_{2k}</math> είναι ο <math>2k</math>-οστός αριθμός Όιλερ.<ref>{{Cite book|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|first=Pierre|last=Eymard|first2=Jean-Pierre|last2=Lafon|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-3246-8|year=2004}} p. 112</ref>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n}\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{40}-\cdots = \frac{\pi}{4}</math>

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7} +\frac{1}{9\cdot 11} +\cdots=\frac{\pi}{8}</math>

: <math> \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n^2+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_1|+|G_2|-|G_4|-|G_5|+|G_7|+|G_8|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots =\frac{\sqrt{3}}{\pi} </math>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=\pi -3</math> (σειρά Nilakantha)

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{F_{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{4\pi^2}{25\sqrt5}</math> (όπου <math>F_n</math> είναι ο n-οστός [[Ακολουθία Φιμπονάτσι|αριθμός Φιμπονάτσι]])

: <math>\sum_{n=1}^\infty \sigma(n)e^{-2\pi n}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi}</math> (όπου <math>\sigma</math> είναι η [[Συνάρτηση διαιρέτη|συνάρτηση αθροίσματος διαιρετών]])

: <math> \pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\epsilon (n)}}{n}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \cdots </math>(όπου <math>\epsilon (n)</math> είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής <math>p\equiv 1\,(\mathrm{mod}\,4)</math> του <math>n</math>)<ref>{{Cite book|title=Introductio in analysin infinitorum|first=Leonhard|last=Euler|year=1748|volume=1|γλώσσα=Latin}} p. 245</ref><ref>[[Carl B. Boyer]], ''A History of Mathematics'', Chapter 21., pp. 488–489</ref>

: <math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots</math>(όπου <math>\varepsilon (n)</math> είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής <math>p\equiv 3\, (\mathrm{mod}\, 4)</math> του <math>n</math>)<ref>{{Cite book|title=Introductio in analysin infinitorum|first=Leonhard|last=Euler|year=1748|volume=1|γλώσσα=Latin}} p. 244</ref>

: <math>\pi=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1/2}</math>

: <math>\pi^2=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(n+1/2)^2}</math><ref>{{Cite web|url=http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf|title=Summing inverse squares by euclidean geometry|last=Wästlund|first=Johan}} The paper gives the formula with a minus sign instead, but these results are equivalent.</ref>

Οι δύο τελευταίοι τύποι

: <math>\begin{align}\frac{\pi}{\sin\pi x}&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x}\\
\left(\frac{\pi}{\sin \pi x}\right)^2&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(n+x)^2}\end{align}</math>

είναι ειδικές περιπτώσεις που παράγουν άπειρους ανάλογους τύπους για το <math>\pi</math>, όταν το <math>x\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}.</math>
=== Τύποι του Τζον Μασίν ===

: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan 1</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} </math> (ο αρχικός τύπος του Μασίν)

: <math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 6 \arctan\frac{1}{8} + 2 \arctan\frac{1}{57} + \arctan\frac{1}{239}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

=== Άπειρα γινόμενα ===

: <math>\frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\cdot\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots</math> (Όιλερ)

όπου οι αριθμητές είναι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί. Κάθε παρονομαστής είναι το πολλαπλάσιο του 4 που είναι πιο κοντά στον αριθμητή.

: <math>\frac{\sqrt{3}\pi}{6}=\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 5 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p}{p+1}\right)=\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{18} \cdots </math>

: <math>\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math> (βλέπε επίσης [[Προϊόν Wallis|γινόμενο Γουάλις]])

: <math>\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+\frac{1}{1}\right)^{+1}\left(1+\frac{1}{2}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{3}\right)^{+1}\cdots</math> (άλλη μορφή του γινομένου του Γουάλις)

Ο τύπος του Viète:

: <math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots</math>

Ένας τύπος διπλού άπειρου γινομένου που περιλαμβάνει την ακολουθία Θουέ-[[Μάρστον Μορς|Μορς]]:

: <math>\frac{\pi}{2}=\prod_{m\geq1} \prod_{n\geq1} \left( \frac{(4 m^2 + n - 2) (4 m^2 + 2 n - 1)^2}{4 (2 m^2 + n - 1) (4 m^2 + n - 1) (2 m^2 + n)} \right) ^{\epsilon_n},</math>

όπου <math>\epsilon_n = (-1)^{t_n}</math> και <math>t_n</math> είναι η ακολουθία Θουέ-Μορς {{Harvard citation|Tóth|2020}}.

=== Τύποι με τόξο εφαπτομένης ===

: <math> \frac{\pi}{2^{k+1}}=\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k}, \qquad\qquad k\geq 2 </math>
: <math> \frac{\pi}{4}=\sum_{k\geq 2}\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k}, </math>

όπου <math> a_k=\sqrt{2+a_{k-1}} </math> τέτοιο ώστε <math> a_1=\sqrt{2} </math>.

: <math>\frac{\pi}{2} = \sum_{k=0}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2k+1}} = \arctan\frac{1}{1} + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{13} + \cdots </math>

όπου <math>F_k</math> είναι ο ''κ''-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.

: <math> \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c</math>

όταν ισχύει ότι <math>a+b+c=abc</math> και <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια ειδική περίπτωση είναι:

: <math>\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.</math>

=== Μιγαδικές συναρτήσεις ===

: <math>e^{i \pi} +1 = 0</math> ([[ταυτότητα του Όιλερ]])

Οι παρακάτω ισοδυναμίες ισχύουν για οποιονδήποτε [[��ιγαδικός αριθμός|μιγαδικό αριθμό]] <math>z</math>:

: <math>e^z\in\mathbb{R}\leftrightarrow\Im z\in\pi\mathbb{Z}</math>
: <math>e^z=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb{Z}</math><ref>{{Cite book|title=Real and Complex Analysis|url=https://archive.org/details/realcomplexanaly0000rudi|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|publisher=McGraw-Hill Book Company|isbn=0-07-100276-6|year=1987|edition=Third}} p. 3</ref>

Επίσης,

: <math>\frac{1}{e^z-1}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-2\pi i n}-\frac{1}{2},\quad z\in\mathbb{C}.</math>

=== Συνεχή κλάσματα ===

: <math>
\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}</math>

:

: <math>
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}}}
</math>

: <math>
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

: <math>
2\pi = {6 + \cfrac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \cfrac{10^2}{12+ \cfrac{14^2}{12 + \cfrac{18^2}{12 + \ddots}}}}}}
</math>

: <math>
\pi=4-\cfrac{2}{1+ \cfrac{1}{1- \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{ 1-\cfrac{2 }{ 1+\cfrac{3}{ 1-\cfrac{3 }{\ddots}}}}}}}
</math>

=== Επαναληπτικοί αλγόριθμοι ===

: <math> a_0=1,\, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)a_n,\, \pi=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n}</math>

: <math>a_1=0,\, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\, \pi =\lim_{n\to\infty} 2^n\sqrt{2-a_n}</math> (Στενά συνδεδεμένο με τον τύπο του Viète)
: 

: <math> \forall k \in \mathbb{N}, \, a_1 = 2^{ - k}, \, a_{n + 1} = a_n + 2^{ - k}(1 - \tan (2^{k - 1} a_n)), \, \pi = 2^{k + 1} \lim _{n \to \infty} a_n</math> (τετραγωνική σύγκλιση)<ref>{{Cite journal|last=Abrarov|first=Sanjar M.|last2=Siddiqui|first2=Rehan|last3=Jagpal|first3=Rajinder K.|last4=Quine|first4=Brendan M.|date=2021-09-04|title=Algorithmic Determination of a Large Integer in the Two-Term Machin-like Formula for π|journal=Mathematics|language=en|volume=9|issue=17|pages=2162|doi=10.3390/math9172162|arxiv=2107.01027}}</ref>

: <math>a_1=1,\, a_{n+1}=a_n+\sin a_n,\, \pi =\lim_{n\to\infty}a_n</math> (κυβική σύγκλιση)<ref>{{Cite book|title=π Unleashed|first=Jörg|last=Arndt|first2=Christoph|last2=Haenel|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-540-66572-4|year=2001}} page 49</ref>

: <math>a_0=2\sqrt{3},\, b_0=3,\, a_{n+1}=\operatorname{hm}(a_n,b_n),\, b_{n+1}=\operatorname{gm}(a_{n+1},b_n),\, \pi =\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n</math> (αλγόριθμος του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]], βλέπε επίσης [[αρμονικός μέσος]] και [[γεωμετρικός μέσος]])<ref>{{Cite book|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|first=Pierre|last=Eymard|first2=Jean-Pierre|last2=Lafon|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-3246-8|year=2004}} p. 2</ref>

=== Ασυμπτωτικοί τύποι ===

: <math>\binom{2n}{n}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}</math> (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των κεντρικών [[Διωνυμικός συντελεστής|διωνυμικών συντελεστών]])

: <math>C_n\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n^3}}</math> (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των Καταλανικών αριθμών)

: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> ([[Τύπος Στίρλινγκ]])

: <math>\log n!\simeq \left(n+\frac12\right)\log n-n+\frac{\log 2\pi}{2}</math>

: <math>\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}</math> (όπου <math>\varphi</math> είναι η [[συνάρτηση Όιλερ]])

: <math>\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}</math>

Το σύμβολο <math>\sim</math> σημαίνει ότι η ''αναλογία'' της αριστερής πλευράς και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 1 όσο το <math>n\to\infty</math>.

Το σύμβολο <math>\simeq</math> σημαίνει ότι η ''διαφορά'' μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 0 όσο το <math>n\to\infty</math>.

:

=== Ανάμικτοι τύποι ===

: <math>\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}</math> (τύπος ανάκλασης του Όιλερ, βλέπε [[Συνάρτηση γάμμα]])

: <math>\pi^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)</math> (η συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν)

: <math>e^{-\zeta'(0)}=\sqrt{2\pi}</math>

: <math>e^{\zeta'(0,1/2)-\zeta'(0,1)}=\sqrt{\pi}</math> (όπου <math>\zeta (s,a)</math> είναι η συνάρτηση ζήτα του Hurwitz και η παράγωγος λαμβάνεται ως προς την πρώτη μεταβλητή)

: <math>\pi =\Beta (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^2</math> (δείτε επίσης [[Συνάρτηση βήτα]])

: <math>\pi = \frac{\Gamma (3/4)^4}{\operatorname{agm}(1,1/\sqrt{2})^2}=\frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \operatorname{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}</math>

: <math>i\pi=\operatorname{Log}(-1)=\lim_{n\to\infty}n\left((-1)^{1/n}-1\right)</math> (όπου <math>\operatorname{Log}</math> είναι η κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου)<ref group="note">The <math>n</math>th root with the smallest positive [[Argument (complex analysis)#Principal value|principal argument]] is chosen.</ref>

: <math>1-\frac{\pi^2}{12}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\bmod k)</math> (όπου <math display="inline"> n\bmod k </math> είναι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του ''n'' με το ''k'')

: <math>\pi = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{r^2} \sum_{x=-r}^{r} \; \sum_{y=-r}^{r} \begin{cases}
1 & \text{if } \sqrt{x^2+y^2} \le r \\
0 & \text{if } \sqrt{x^2+y^2} > r \end{cases}
</math> (αθροίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου)

: <math> \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2} </math> ([[άθροισμα Riemann|άθροισμα Ρίμαν]] για τον υπολογισμό του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου)

: <math> \pi = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}n!^4}{n(2n)!^2}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}}{n {2n\choose n}^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2</math> (συνδυάζοντας τον τύπο του Στίρλινγκ με το γινόμενο Γουάλις)

== Σημειώσεις ==
<references group="note"/>

== Παραπομπές ==
<references />
* {{Citation|last=Tóth|first=László|title=Transcendental Infinite Products Associated with the +-1 Thue-Morse Sequence|journal=Journal of Integer Sequences|volume=23|year=2020|page=20.8.2|arxiv=2009.02025|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL23/Toth/toth46.pdf}}.

== Περαιτέρω ανάγνωση ==
* {{Cite journal|last=Borwein|first=Peter|issue=3|journal=Nieuw Archief voor Wiskunde|pages=254–258|series=5th series|title=The amazing number {{pi}}|url=https://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2000-01-3-254.pdf|volume=1|year=2000|zbl=1173.01300}}
* Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: ''Number Theory 1: Fermat's Dream''. American Mathematical Society, Providence 1993, {{ISBN|0-8218-0863-X}}.


[[Κατηγορία:Πι]]
[[Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις]]

Πρότυπα που χρησιμοποιούνται σε αυτή την σελίδα:

Πρότυπο:Citation (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Citation/core (επεξεργασία)
Πρότυπο:Citation/make link (επεξεργασία)
Πρότυπο:Cite book (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Cite journal (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Cite web (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Harvard citation (επεξεργασία)
Πρότυπο:Hide in print (επεξεργασία)
Πρότυπο:ISBN (επεξεργασία)
Πρότυπο:Math (επεξεργασία)
Πρότυπο:Mvar (επεξεργασία)
Πρότυπο:Nowrap (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Πρότυπο:Only in print (επεξεργασία)
Πρότυπο:Pi (επεξεργασία)
Πρότυπο:Sidebar (επεξεργασία)
Πρότυπο:Trim (επεξεργασία)
Πρότυπο:Zbl (επεξεργασία)
Πρότυπο:Απόκρυψη στην εκτύπωση (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μόνο στην εκτύπωση (επεξεργασία)
Πρότυπο:Πλαίσιο π (μαθηματική σταθερά) (επεξεργασία)
Module:Arguments (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Biblio (επεξεργασία)
Module:Biblio/Références (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1 (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/COinS (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Configuration (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Date validation (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Identifiers (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Utilities (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Whitelist (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/styles.css (επεξεργασία)
Module:Footnotes (επεξεργασία)
Module:Navbar (επεξεργασία)
Module:Navbar/configuration (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Module:Navbar/styles.css (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Outils (επεξεργασία)
Module:Sidebar (επεξεργασία)
Module:Sidebar/configuration (επεξεργασία)
Module:Sidebar/styles.css (επεξεργασία)
Module:TableBuilder (επεξεργασία)

Επιστροφή στη σελίδα Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π.

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Κατάλογος_τύπων_που_περιλαμβάνουν_το_π"