Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Γραμμική απεικόνιση

Δεν έχετε την άδεια να τροποποιήσετε αυτή τη σελίδα, για τον ακόλουθο λόγο:

Η διεύθυνση IP σας βρίσκεται σε ένα εύρος που έχει αποκλειστεί σε όλα τα wiki του Ιδρύματος Wikimedia.

Ο αποκλεισμός έγινε από ‪EPIC‬ . Ο λόγος που δίνεται είναι Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected .

Έναρξη αποκλεισμού: 08:48, 2 Ιουλίου 2024
Λήξη αποκλεισμού: 08:48, 2 Ιουλίου 2025

Η τρέχουσα διεύθυνση IP σας είναι 206.189.44.186 . Το αποκλεισμένο εύρος είναι 206.189.32.0/20 .

Παρακαλούμε συμπεριλάβετε τις παραπάνω λεπτομέρειες σε όποια ερωτήματα κάνετε. Εάν πιστεύετε ότι έχετε αποκλειστεί κατά λάθος, μπορείτε να βρείτε πρόσθετες πληροφορίες και οδηγίες στην παγκόσμια πολιτική No open proxies παγκόσμια πολιτική.

Διαφορετικά, για να συζητήσετε τον αποκλεισμό, παρακαλούμε αναρτήστε ένα αίτημα για έλεγχο στο Meta-Wiki. ⧼wikimedia-globalblocking-blockedtext-mistake- email-steward⧽

Μπορείτε να δείτε και να αντιγράψετε τον κώδικα της σελίδας:

Στην [[γραμμική άλγεβρα]], μία '''γραμμική απεικόνιση''' (ή '''γραμμικός μετασχηματισμός''') μεταξύ δύο [[διανυσματικός χώρος|διανυσματικών χώρων]] <math>V</math> και <math>W</math> επί του [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματος]] <math>F</math> είναι μία [[συνάρτηση]] <math>T:V \to W</math> η οποία ικανοποιεί
*<math>T(u+v) = T(u)+T(v)</math>, για κάθε <math>u, v \in V</math>, και 
*<math>T(\alpha u)=\alpha T(u)</math>, για κάθε <math>u \in V</math> και <math>\alpha \in F</math>.

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται '''σχέσεις γραμμικότητας''' και είναι ισοδύναμες με την σχέση
:<math>T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v)</math>, για κάθε <math>u, v \in V</math> και <math>\alpha, \beta \in F</math>.
Αν οι διανυσματικοί χώροι <math>V</math> και <math>W</math> ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται '''γραμμικός τελεστής''' ή αλλιώς '''ενδομορφισμός'''.

== Ιδιότητες ==
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση <math>T : U \to W</math>:
* <math>T(0_U) = 0_W</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Θεωρούμε ένα διάνυσμα <math>u \in U</math>. Τότε,
<math>
T(0_U) = T(u + (-u)) = T(u + (-1_F) u) = T(u) + (-1_F) T(u) = 0_W.
</math>
}}
* Για οποιαδήποτε <math>n</math> διανύσματα <math>u_1, u_2, \ldots , u_n \in V</math> και σταθερές <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots ,\alpha_n \in F</math>, ισχύει ότι
::<math>T(\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) + \ldots + \alpha_n T(u_n)</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής. 

'''Βασική περίπτωση:''' Για <math>n = 2</math> η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας. 

'''Επαγωγική περίπτωση:''' Έστω ότι ισχύει για <math>n = k</math>, δηλαδή 
:<math>T(\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_k u_k) = \alpha_1 T(u_1)+ \ldots + \alpha_k T(u_k)</math>.
τότε για <math>n = k + 1</math> έχουμε ότι 
:<math>
\begin{align}
T(\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_{k+1} u_{k+1}) 
 & = T( (\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_k u_k) + \alpha_{k+1} u_{k+1}) \\
 & = T( \alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_k u_k ) + \alpha_{k+1} u_{k+1} \\
 & = T(\alpha_1 u_1) + \ldots + T(\alpha_k u_k) + T(\alpha_{k+1} u_{k+1}).
\end{align}
</math>.
}}
== Παραδείγματα ==

* Η συνάρτηση <math>T(u) = c \cdot u</math> για <math>u \in F</math> είναι γραμμική. 
* Η [[μηδενική συνάρτηση]] <math>T(u) = 0_W</math> είναι γραμμική. 
* Για κάθε πίνακα <math>A \in R^{n \times n}</math> η συνάρτηση <math>T(u) = Au</math> είναι γραμμική (για <math>U = W = \R^n</math>).
* Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση 
::<math>T(f) = \int_a^b f(t)\,dt</math>
:είναι γραμμική.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις <math>f, g</math> και σταθερές <math>\alpha, \beta \in \R</math> ισχύει ότι
:<math>T(\alpha f + \beta g) 
  = \int_a^b (\alpha f(t) + \beta g(t))\,dt = \int_a^b \alpha f(t)\,dt + \int_a^b \beta g(t)\,dt
  = \alpha \int_a^b f(t)\,dt + \beta \int_a^b g(t)\,dt
  = \alpha T(f) + \beta T(g).
</math>
}}
* Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων <math>C(\R)</math> η συνάρτηση 
::<math>T(f) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} f(t)</math>
:είναι γραμμική.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις <math>f, g</math> και σταθερές <math>\alpha, \beta \in \R</math> ισχύει ότι
:<math>T(\alpha f + \beta g) 
  = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\alpha f + \beta g)
  = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\alpha f) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\beta g)
  = \alpha \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{dt}} + \beta \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{dt}}
  = \alpha T(f) + \beta T(g).
</math>
}}
== Πίνακας μετασχηματισμού ==

Σε κάθε διανυσματικό χώρο <math>U</math> πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακα]]. 

Έστω <math>b_1, \ldots, b_n</math> μία [[βάση (γραμμική άλγεβρα)|βάση]] του διανυσματικού χώρου <math>U</math>. Τότε κάθε διάνυσμα <math>u \in U</math> μπορεί να γραφτεί ως 
:<math>u = u_1 b_1 + \ldots + u_n b_n</math>, 
για κάποια <math>b_1, \ldots, b_n \in F</math>. Επομένως για έναν μετασχηματισμό <math>T : U \to W</math> έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι 
:<math>T(u) = T(u_1 b_1 + \ldots + u_n b_n) = u_1 T(b_1) + \ldots + u_n T(b_n)</math>.
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το [[πολλαπλασιασμός πινάκων|γινόμενο πινάκων]]
:<math>
\begin{bmatrix}
\Big\uparrow & & \Big\uparrow \\
T(b_1) & \cdots & T(b_n) \\
\Big\downarrow & & \Big\downarrow
\end{bmatrix} \cdot \mathbf{u}.
</math>
Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα <math>T(b_1), \ldots , T(b_n) \in W</math> δεν εξαρτώνται από το <math>u</math>, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό <math>T</math>. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του <math>U</math>. 

=== Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή ===

{{multiple image
 | align = right
 
 | image1 = Παράδειγμα_περιστροφής_του_e1.svg
 | caption1 = Περιστροφή του <math>(0, 1)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>.

 | image2 = Παράδειγμα_περιστροφής_του_e2.svg
 | caption2 = Περιστροφή του <math>(1, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>.
}}

Για να υπολογίσουμε τον [[πίνακας περιστροφής|πίνακα περιστροφής]] κατά γωνία <math>\theta</math> από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης
:<math>
\left\lbrace \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rbrace.
</math>
Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι 
:<math>
\begin{align}
T(0) & \mapsto (\cos \theta, \sin \theta), \\
T(1) & \mapsto (-\sin \theta, \cos \theta). \\
\end{align}
</math>
Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από 
:<math>
R(\theta)
=
\begin{bmatrix}
\Big\uparrow & \Big\uparrow \\
T(e_1) & T(e_2) \\
\Big\downarrow & \Big\downarrow
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}.
</math>

{{Γραμμική Άλγεβρα}}
{{Portal bar|Μ��θηματικά}}

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)]]

{{Μαθηματικά-επέκταση}}

Πρότυπα που χρησιμοποιούνται σε αυτή την σελίδα:

Πρότυπο:Asbox (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Πρότυπο:Hlist/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:If (επεξεργασία)
Πρότυπο:Multiple image (επεξεργασία)
Πρότυπο:Navbox (επεξεργασία)
Πρότυπο:P2 (επεξεργασία)
Πρότυπο:Portal bar (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Γραμμική Άλγεβρα (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Πλαίσιο πλοήγησης (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Module:Arguments (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Multiple image (επεξεργασία)
Module:Navbar (επεξεργασία)
Module:Navbar/configuration (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Module:Navbar/styles.css (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Navbox (επεξεργασία)
Module:Navbox/configuration (επεξεργασία)
Module:Navbox/styles.css (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)
Module:Portal (επεξεργασία)
Module:Portal/images/other (επεξεργασία)
Module:Portal bar (επεξεργασία)
Module:TableTools (επεξεργασία)
Module:Yesno (προβολή κώδικα) (προστατευμένη)

Επιστροφή στη σελίδα Γραμμική απεικόνιση.

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Γραμμική_απεικόνιση"