Ψευδορθογώνιο τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ ονομάζεται ψεύδο-ορθογώνιο (ή ψευδορθογώνιο) αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, δηλαδή ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$ . Αυτά τα τρίγωνα ικανοποιούν κάποιες από τις μετρικές σχέσεις που ισχύουν στα ορθογώνια τρίγωνα και από εκεί παίρνουν το όνομά τους.^[1]^:192-197^[2]^:131

Σχέση με ορθογώνια τρίγωνα

Έστω ${\rm {A\Delta }}$ το ύψος του τριγώνου στην κορυφή ${\rm {A}}$ . Αμα θεωρήσουμε το $\mathrm {B} '$ ως το συμμετρικό του $\mathrm {B}$ ως προς το $\mathrm {A} '$ , τότε το τρίγωνο $\mathrm {AB'\Gamma }$ είναι ορθογώνιο με ορθή την $\mathrm {A}$ . Επίσης έχει δύο πλευρές ίσες με το αρχικό τρίγωνο (την $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ και την $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$ ) και ένα ύψος κοινό (το $\mathrm {A\Delta }$ ).

Απόδειξη

Το σχετικό ορθογώνιο τρίγωνο

\mathrm {AB\Gamma } '

του ψεύδο-ορθογωνίου τριγώνου

\mathrm {AB\Gamma }

.

Για να δούμε την ισότητα των πλευρών, από την κατασκευή το τρίγωνο $\mathrm {ABB'}$ είναι ισοσκελές και επομένως $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ .

Για να δούμε ότι η γωνία ${\widehat {\rm {B'A\Gamma }}}$ είναι ορθή, παρατηρήστε ότι

{\widehat {\rm {BA\Delta }}}=90^{\circ }-{\widehat {\rm {AB\Delta }}}=90^{\circ }-(180^{\circ }-{\hat {\mathrm {B} }})={\hat {\mathrm {B} }}-90^{\circ }={\hat {\mathrm {\Gamma } }},

χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$ . Επομένως,

{\begin{aligned}{\widehat {\rm {B'A\Gamma }}}&=2\cdot {\widehat {\rm {BA\Delta }}}+{\widehat {\rm {BA\Gamma }}}\\&=2{\hat {\mathrm {\Gamma } }}+180^{\circ }-{\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}-({\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }})=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },\end{aligned}}

πάλι χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$ .

Ιδιότητες

Οι παρακάτω μετρικές σχέσεις προκύπτουν απευθείας από αυτές του ορθογωνίου $\mathrm {AB'\Gamma }$ (δείτε το σχετικό λήμμα για τις αποδείξεις), από την ισότητα $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ , καθώς και από την κοινή $\mathrm {A\Gamma }$ και το κοινό ύψος $\mathrm {A\Delta }$ :

$\mathrm {A\Delta } ^{2}=\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {\Gamma \Delta }$ ,
$\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta }$ ,
${\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } ^{2}}}$ .

Δείτε επίσης

Ορθογώνιο τρίγωνο

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[Tav-1] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[K75-2] Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[1]