Χορδή (γεωμετρία)

(${\displaystyle \Rightarrow }$ ) Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$  και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ , ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$  δύο ίσα τόξα σε αυτόν. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ , ${\displaystyle {\rm {OB}}}$ , ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ , ${\displaystyle {\rm {O\Delta }}}$  και τις χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ . Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$  είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$ .

(${\displaystyle \Leftarrow }$ ) Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ , ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$  σε κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ . Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$  που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOB}}}={\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}}$  (ισότητα γωνιών) από όπου ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$  (ισότητα τόξων).

Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$  και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  μία χορδή του. Αν ${\displaystyle {\rm {OM}}}$  είναι το απόστημα της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OMB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {OMA}}}$  είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ${\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} }$ , άρα το ${\displaystyle {\rm {M}}}$  θα είναι μέσο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  και ${\displaystyle {\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}}$  (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {NA} =\mathrm {NB} }$  (ισότητα τόξων) και το ${\displaystyle {\rm {N}}}$  είναι το μέσο του τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ .

(${\displaystyle \Rightarrow }$ ) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$  ίσες χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ . Φέρνουμε τα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$  και τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$  αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$  είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\displaystyle {\rm {OK}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$  θα είναι ίσες.

(${\displaystyle \Leftarrow }$ ) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$  και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$  χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$  με ίσα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$  αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ . Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$  και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$  είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ${\displaystyle \rho }$ . Έτσι και ${\displaystyle \mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda } }$ , δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.