Τέλειος αριθμός

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1):

Για n = 2:   2¹(2² − 1) = 2 × 3 = 6

Για n = 3:   2²(2³ − 1) = 4 × 7 = 28

Για n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 16 × 31 = 496

Για n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 64 × 127 = 8128

Παρατηρώντας ότι τα n στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν το 2ⁿ − 1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο ${\displaystyle 2^{n}-1}$  είναι πρώτος, τότε ο ${\displaystyle n}$  είναι πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2ⁿ − 1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (Mersenne), από το όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι γνωστοί 50 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 50 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος από αυτούς - ο 50ος - αποτελείται από 23,249,425 ψηφία. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

• N είναι της μορφής

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}$ 

όπου q, p₁, …, p_k είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Όιλερ).

• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).
• Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{k}}$  είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)
• Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 10⁸ (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).
• Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 10⁴ , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).
• Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2e_k επαναλήψεις του p_k χωριστά (Kevin Hare 2005).
• Ο N είναι μικρότερος από ${\displaystyle 2^{4^{n}}}$  όπου n είναι ο αριθμός των διακεκριμένων ��ρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10⁵⁰⁰ σύμφωνα με τους υπoλογισμούς του [1].

Έως το 2016 υπήρχαν συνολικά 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Ο εκθέτης p του πρώτου αριθμού Μερσέν χρησιμοποιείται για την επαλήθευση τους με τον τύπο 2^p−1× (2^p − 1) όπου 2^p − 1 αποτελεί πρώτο αριθμό Μερσέν. Όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί ακολουθούν αυτή την μορφή, και είναι άγνωστο εάν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί.^[1][2][3][4] Η αναλογία p / σύνολο ψηφίων προσεγγίζει το log(10) / log(4) = 1.6609640474...

• Takeshi Goto and Yasuo Ohno, Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10⁸. Preprint, 2006. Διαθέσιμο εδώ: "Largest prime factor of an odd perfect number Αρχειοθετήθηκε 2007-05-17 στο Wayback Machine.".
• Kevin Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint, 2005. Διαθέσιμο εδώ: [2] Αρχειοθετήθηκε 2005-11-27 στο Wayback Machine..
• Douglas E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand," Mathematics of Computation, volume 68, issue 228, pages 1749–1760, 1999.
• Douglas E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred," Mathematics of Computation, volume 69, issue 230, pages 867–879, 2000.
• Pace P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers," Integers, vol. 3, A14, 9 pp. (electronic), 2003.
• Pace P. Nielsen, Odd perfect numbers have at least nine different prime factors,
  arXiv:math.NT/0602485
  , 2006.
• R. Steuerwald, Verscharfung einen notwendigen Bedingung fur die Existenz einen ungeraden vollkommenen Zahl, S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937, 69–72.

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory
• Perfect Number - from MathWorld
• List of Perfect Numbers at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• List of known Perfect Numbers All known perfect numbers are here.
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.