Κύκλου μέτρησις

Η πρώτη πρόταση αναφέρει:^[4]:4

Το εμβαδόν οποιοδήποτε κύκλου με ακτίνα ${\displaystyle r}$  και περιφέρεια ${\displaystyle c}$  ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου όπου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος ${\displaystyle r}$  και ${\displaystyle c}$ . Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται με τη μέθοδο της εξάντλησης.^[5]

H δεύτερη πρόταση αναφέρει:^[4]: 6

Ο λόγος το εμβαδού ενός κύκλου προς το τετράγωνο της διαμέτρου του ισούται με 11 προς 14.

Αυτή η πρόταση δεν θα μπορούσε να έχει τεθεί από τον Αρχιμήδη, γιατί βασίζεται στο αποτέλεσμα της τρίτης πρότασης.

Η τρίτη πρόταση αναφέρει:^[4]: 7

Ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μεγαλύτερος από ${\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}}$  και μικρότερος από ${\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}}$ 

Κάτι τέτοιο προσεγγίζει αυτό που τώρα ονομάζουμε μαθηματική σταθερά π ή σταθερά του Αρχιμήδη. Βρήκε αυτά τα όρια προσεγκίζοντας την τιμή αυτή εγγράφοντας και περιγράφοντας έναν κύκλο με δύο όμοια κανονικά πολύγωνα 96 πλευρών.^[6]

Αυτή η πρόταση περιέχει επίσης ακριβείς προσεγγίσεις στην τετραγωνική ρίζα του 3 (ένα άνω και ένα κάτω όριο) και άλλων μη-τέλειων τετραγώνων. Ωστόσο, ο Αρχιμήδης δεν δίνει καμία εξήγηση για το πώς βρήκε αυτούς τους αριθμούς. Δίνει το άνω και κάτω όριο για το √3 ως 1351/780 > √3 > 265/153. Ωστόσο, αυτά τα όρια είναι γνωστά από τη μελέτη της εξίσωσης του Πελ και τις συγκλίσεις ενός σχετικού συνεχούς κλάσματος, οδηγώντας σε πολλές ερωτήσεις σχετικά με το πόση από αυτή τη θεωρία αριθμών θα μπορούσε να είχε πρόσβαση ο Αρχιμήδης. Η ανάλυση αυτής της προσέγγισης ανάγεται τουλάχιστον στον Τόμας Φαντέ ντε Λαγκνί, FRS το 1723, αλλά αντιμετωπίστηκε πιο ρητά από τον Ιερώνυμο Γκεόργκ Ζέουθεν (Georg Zeuthen). Στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ο Φρίντριχ Ότο Χουλτς (1833–1906) και ο Καρλ Χάινριχ Χούνρατ (Karl Heinrich Hunrath) (γ. 1847) σημείωσαν πώς τα όρια θα μπορούσαν να βρεθούν γρήγορα μέσω απλών διωνυμικών ανιστοτήτων σε τετραγωνικές ρίζες κοντά σε ένα τέλειο τετράγωνο με βάση τα Στοιχεία II.4. , 7; αυτή η μέθοδος ευνοείται από τον Τόμας Λιτλ Χιθ. Αν και αναφέρεται μόνο μία διαδρομή προς τα όρια, στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο άλλες, καθιστώντας τα όρια σχεδόν αναπόφευκτα, ανεξάρτητα από το πώς εφαρμοστεί η μέθοδος. Αλλά τα όρια μπορούν επίσης να παραχθούν από μια επαναληπτική γεωμετρική κατασκευή που προτείνεται από το Οστομάχιον του Αρχιμήδη στη ρύθμιση του κανονικού δωδεκαγώνου. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να δοθούν ρητές προσεγγίσεις για την εφαπτομένη του ${\displaystyle \pi /12}$ .

• Αρχαίο κείμενο και απόδοση στη νέα ελληνικά