Στη γεωμετρία , διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου ή εσωτερική διχοτόμος λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, που περιέχεται μεταξύ της κορυφής της γωνίας και της πλευράς του τριγώνου.[ 1]
Εσωτερική διχοτόμος
A
Δ
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
B
A
Γ
^
{\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}}
A
Δ
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } }
B
A
Γ
^
{\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}}
Δ
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
B
^
{\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}}
Γ
^
{\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}}
δ
A
,
δ
B
,
δ
Γ
{\displaystyle \delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}}
δ
��
,
δ
β
,
δ
γ
{\displaystyle \delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }}
δ
1
,
δ
2
,
δ
3
{\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}}
[ 2] :79-89 [ 3] [ 4]
Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
Δ
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
[ 4] : 95
B
Δ
Γ
Δ
=
A
B
A
Γ
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}
Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου .[ 2] : 80 [ 3] : 35-36
Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[ 3] : 39 [ 4] : 125
δ
A
=
β
γ
⋅
(
1
−
α
2
(
β
+
γ
)
2
)
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}}
δ
B
=
γ
α
⋅
(
1
−
β
2
(
γ
+
α
)
2
)
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\sqrt {\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad }}}
δ
Γ
=
α
β
⋅
(
1
−
γ
2
(
α
+
β
)
2
)
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\sqrt {\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)}}}
Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:[ 5] :265-266 [ 3] : 69 [ 6] :128
δ
A
=
2
β
γ
β
+
γ
⋅
cos
A
^
2
,
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}},}
δ
B
=
2
γ
α
γ
+
α
⋅
cos
B
^
2
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }
δ
Γ
=
2
α
β
α
+
β
⋅
cos
Γ
^
2
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}
και επίσης
δ
A
=
α
⋅
sin
B
^
⋅
sin
Γ
^
sin
A
^
⋅
cos
B
^
−
Γ
^
2
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {B}}}-{\hat {\Gamma }}}{2}}}}}
δ
B
=
β
⋅
sin
Γ
^
⋅
sin
A
^
sin
B
^
⋅
cos
Γ
^
−
A
^
2
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {\Gamma }}}-{\hat {\rm {A}}}}{2}}}}\quad }
δ
Γ
=
γ
⋅
sin
A
^
⋅
sin
B
^
sin
Γ
^
⋅
cos
A
^
−
B
^
2
{\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}}}{2}}}}}
Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
B
>
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } }
δ
Γ
<
δ
B
{\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}<\delta _{\rm {B}}}
[ 2] : 83
↑ Βασιλειάδης, Παναγιώτης. Γεωμετρία πολύγωνα-περιφέρειαι . Θεσσαλονίκη: Φροντιστήρια Π. Βασιλειάδη. σελ. 44-45. ↑ 2,0 2,1 2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. ↑ 4,0 4,1 4,2 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
