Ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Όπως δήλωσε ο Καπλάνσκι, «Το 11ο Πρόβλημα είναι απλά το εξής: την ταξινόμηση τετραγωνικών μορφών σε αλγεβρικά αριθμητικά σώματα». Αυτό ακριβώς έκανε ο Μινκόφσκι για την τετραγωνική μορφή με κλασματικούς συντελεστές. Μια τετραγωνική μορφή (όχι τετραγωνική εξίσωση) είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο στο οποίο κάθε όρος έχει μεταβλητές που εμφανίζονται ακριβώς δύο φορές. Η γενική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ax² + bxy + cy². (όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί).

Μια δεδομένη τετραγωνική μορφή λέγεται ότι αντιπροσωπεύει έναν φυσικό αριθμό εάν η αντικατάσταση των μεταβλητών με συγκεκριμένους αριθμούς δίνει τον αριθμό. Ο Γκάους και όσοι τον ακολούθησαν διαπίστωσαν ότι αν αλλάξουμε τις μεταβλητές με ορισμένους τρόπους, η νέα τετραγωνική μορφή αναπαριστούσε τους ίδιους φυσικούς αριθμούς με την παλιά, αλλά σε διαφορετική, πιο εύκολα ερμηνεύσιμη μορφή. Χρησιμοποίησε αυτή τη θεωρία των ισοδύναμων τετραγωνικών μορφών για να αποδείξει αποτελέσματα της θεωρίας των αριθμών. Ο Λαγκράνζ, παραδείγματος χάριν, έδειξε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Ο Γκάους το απέδειξε αυτό χρησιμοποιώντας τη θεωρία του για τις σχέσεις ισοδυναμίας^[2], δείχνοντας ότι η τετραγωνική ${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$  αναπαριστά όλους τους φυσικούς αριθμούς. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο Μινκόφσκι δημιούργησε και απέδειξε μια παρόμοια θεωρία για τετραγωνικές μορφές που είχαν κλάσματα ως συντελεστές. Το ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ απαιτεί μια παρόμοια θεωρία. Με άλλα λόγια, έναν τρόπο ταξινόμησης του κατά πόσον μια μορφή είναι ισοδύναμη με μια άλλη, αλλά στην περίπτωση όπου οι συντελεστές μπορεί να είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Ο Χέλμουτ Χάσε το πέτυχε αυτό τον Οκτώβριο του 1920 σε μια απόδειξη που χρησιμοποιεί την αρχή "local-global" και το γεγονός ότι η θεωρία είναι σχετικά απλή για τα p-adic συστήματα^[3]. Δημοσίευσε την εργασία του το 1923 και το 1924. Βλέπε αρχή Χάσε, θεώρημα Χάσε-Μινκόφσκι^[4][5]. Η "local-global" (Τοπική - Καθολική) αρχή^[6] δηλώνει ότι ένα γενικό αποτέλεσμα που αφορά έναν ρητό αριθμό ή ακόμη και όλους τους ρητούς αριθμούς μπορεί συχνά να τεκμηριωθεί ελέγχοντας ότι το αποτέλεσμα είναι αληθές για κάθε σύστημα p-adic αριθμών.

Υπάρχει επίσης πιο πρόσφατη εργασία σχετικά με το ενδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ που μελετά πότε ένας ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί από μια τετραγωνική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι η εργασία των Kογκντέλ, Πιατέτσκι-Σαπίρο και Σάρνακ^[7] .

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Π��νεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους
• Δακτύλιος (μαθηματικά)
• Μιγαδικός αριθμός
• Γραμμική άλγεβρα
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ρητή συνάρτηση
• Δευτεροβάθμια εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία αριθμών
• Διανυσματικός χώρος

• Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1279-4. 
• Steuding, Jorn (19 Μαΐου 2005). Diophantine Analysis. CRC Press. ISBN 978-1-4200-5720-1. 
• Narkiewicz, Władysław (2 Σεπτεμβρίου 2011). Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-532-3. 
• Narkiewicz, Władysław (2 Σεπτεμβρίου 2011). Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-532-3. 
• Jiang, Dihua· Shahidi, Freydoon (29 Απριλίου 2016). Advances in the Theory of Automorphic Forms and Their $L$-functions. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1709-3. 
• Kersten, Ina· Meyer, Ralf (2009). Symmetries in Algebra and Number Theory (SANT): Proceedings of the Göttingen-Jerusalem Conference Held October 27-30, 2008 in Göttingen ; Including Contributions to the Satellite Conference "On the Legacy of Hermann Weyl", Held November 3-4, 2008. Universitätsverlag Göttingen. ISBN 978-3-940344-96-0. 
• Steuding, Jörn (26 Μαΐου 2007). Value-Distribution of L-Functions. Springer. ISBN 978-3-540-44822-8. 
• Knightly, Andrew· Li, C. (28 Ιουνίου 2013). Kuznetsov's Trace Formula and the Hecke Eigenvalues of Maass Forms. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8744-8. 
• Higson, Nigel· Roe, John (2006). Surveys in Noncommutative Geometry: Proceedings from the Clay Mathematics Institute Instructional Symposium, Held in Conjuction with the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference on Noncommutative Geometry, June 18-29, 2000, Mount Holyoke College, South Hadley, MA. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3846-4. 

• Hanke, Jonathan (στα αγγλικά). Quadratic Forms, Automorphic Forms, and Hilbert's Eleventh Problem. https://grantome.com/grant/NSF/DMS-0903401. 
• Valentin Blomer· Gergely Harcos (13 Οκτωβρίου 2009). Twisted L-functions over number fields and Hilbert's eleventh problem. 
• Pfeuffer, Horst (1979-05-01). «On a conjecture about class numbers of totally positive quadratic forms in totally real algebraic number fields». Journal of Number Theory 11 (2): 188–196. doi:10.1016/0022-314X(79)90038-6. ISSN 0022-314X. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X79900386. 
• «Hilbert problems - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2024. 

• Alon, Noga· Bourgain, Jean (22 Απριλίου 2011). Visions in Mathematics: GAFA 2000 Special Volume, Part II pp. 455-983. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0346-0425-3. 
• «Wisted l-functions over number fields and hilbert's eleventh problem». 
• «Mathematical developments arising from Hilbert problems - American Mathematical Society» (PDF). 
• «The Hilbert Problems» (PDF).