Αυτοσυζυγής τελεστής

Ένας γραμμικός τελεστής A σε χώρο Hilbert H ονομάζεται συμμετρικός αν

${\displaystyle \langle Ax\mid y\rangle =\langle x\mid Ay\rangle }$ 

για όλα τα στοιχεία x και y του πεδίου ορισμού A. Μερικές φορές, ένας τέτοιος τελεστής ονομάζεται μόνο συμμετρικός αν είναι επίσης πυκνά ορισμένος.

Γενικότερα, ένας μερικά ορισμένος γραμμικός τελεστής A από ένα τοπολογικό διανυσματικό χώρο E σε ένα δικό του συνεχή δυϊκό χώρο E^∗ είναι συμμετρικός αν

${\displaystyle \langle Ax\mid y\rangle =\langle x\mid Ay\rangle }$ 

για όλα τα στοιχεία x και y του πεδίου ορισμού A. Αυτή η χρήση είναι αρκετά συνήθης στη βιβλιογραφία της συναρτησιακής ανάλυσης.

Ένας συμμετρικός ορισμένος παντού τελεστής είναι αυτοσυζυγής. Από το θεώρημα Hellinger-Toeplitz, ένας συμμετρικός παντού ορισμένος τελεστής είναι επίσης φραγμένος.

Στη βιβλιογραφία της φυσικής, ο όρος Ερμητιανός χρησιμοποιείται στη θέση του όρου συμμετρικός. Ωστόσοι η βιβλιογραφία της φυσικής συγκαλύπτει γενικά τη διάκριση μεταξύ των τελεστών που είναι απλώς συμμετρικοί και των τελεστών που είναι πράγματι αυτοσυζυγείς ( όπως ορίζεται στην επόμενη παράγραφο).

Ο προηγούμενος ορισμός συμφωνεί με ένα από τους πίνακες που αναφέρονται στη εισαγωγή του άρθρου αυτού, αν πάρουμε ως H το χώρο Hilbert Cⁿ με το συνήθες εσωτερικό γινόμενο και να ερμηνεύσουμε ένα τετραγωνικό πίνακα ως ένα γραμμικό τελεστή σε αυτό το χώρο Hilbert. Είναι, ωστόσο, πολύ πιο γενικό, καθώς υπάρχουν σημαντικοί χώροι Hilbert άπειρης διάστασης.

Το φάσμα του κάθε συμμετρικού τελεστή είναι πραγματικό; ιδίως όλες οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές, αν και ο συμμετρικός τελεστής μπορεί να μην έχει ιδιοτιμές.

Μια γενική διατύπωση του φασματικού θεωρήματος το οποίο ισχύει για φραγμένους συμμετρικούς τελεστές (βλέπε Reed and Simon, τόμος 1, κεφάλαιο VII, ή άλλα βιβλία που αναφέρονται) είναι η παρακάτω. Εάν το σύνολο των ιδιοτιμών για ένα συμμετρικό τελεστή είναι μη κενό και οι ιδιοτιμές είναι μη εκφυλισμένες, τότε προκύπτει από τον ορισμό ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια. Σε αντίθεση με όσα ισχυρίζονται, μερικέ φορές, στην εισαγωγή στα εγχειρίδια φυσικής, είναι δυνατό οι συμμετρικοί τελεστές να μην έχουν καθόλου ιδιοτιμές (παρόλο που το φάσμα του κάθε τελεστή είναι μη κενό). Το παρακάτω παράδειγμα απεικονίζει μία ειδική περίπτωση ενός (μη φραγμένου) συμμετρικού τελεστή που έχει ένα σύνολο ιδιοδιανυσμάτων, τα οποία αποτελούν μία βάση του χώρου Hilbert. ο τελεστής A παρακάτω μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπαγή αντίστροφο, που σημαίνει ότι η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση Af = g επιλύεται με κάποιο ακέραιο, ωστόσο συμπαγή, τελεστή G. Ο συμπαγής συμμετρικός τελεστής G έχει τότε μία μετρήσιμη οικογένεια ιδιοδιανυσμάτων η οποία είναι πλήρης στο L². το ίδιο μπορεί να ειπωθεί στη συνέχεια για το A.

παράδειγμα. Εξετάστε το μιγαδικό χώρο Hilbert L²[0,1] και το διαφορικό τελεστή

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$ 

ορισμένο στον υποχώρο που αποτελείται από όλες τις μιγαδικές άπειρα διαφορίσιμες συναρτήσεις f στο [0, 1] με συνοριακές συνθήκες f(0) = f(1) = 0. Τότε, ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες προκύπτει ότι ο A είναι συμμετρικός. Οι χαρακτηριστικές του συναρτήσεις είναι ημιτονοειδείς

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$ 

με πραγματικές ιδιοτιμές n²π²; η γνωστή ορθοκανονικότητα των ημιτονοειδών συναρτήσεων ακολουθεί ως συνέπεια της ιδιότητας του να είναι συμμετρικές.

Θεωρούμε γενικεύσεις αυτού του τελεστή παρακάτω.

Δεδομένου ότι ο γραμμικός τελεστής A στον H, ο συζυγής του, A*, ορίζεται ως εξής:

• Το πεδίο ορισμού του A* αποτελείται από διανύσματα x στον H τέτοια ώστε

${\displaystyle y\mapsto \langle x\mid Ay\rangle }$ 

(το οποίο είναι μία πυκνά ορισμένη γραμμική απεικόνιση) είναι μία συνεχής γραμμική συνάρτηση. Από τη συνέχεια και την πυκνότητα του πεδίου ορισμού του A, επεκτείνεται σε μία μοναδική συνεχής γραμμική συνάρτηση σε όλο το H.

• Με το θεώρημα αναπαράστασης γραμμικών συναρτήσεων του Riesz, αν το x ανήκει στο πεδίο ορισμού του A*, υπάρχει ένα μοναδικό διάνυσμα z στον H τέτοιο ώστε

${\displaystyle \langle x\mid Ay\rangle =\langle z\mid y\rangle \qquad \forall y\in \operatorname {dom} A}$ 

Αυτό το διάνυσμα z ορίζεται να είναι τοA* x. Μπορεί να σημειωθεί ότι η εξάρτηση του z στο x είναι γραμμική.

Η πυκνότητα του πεδίου ορισμού του τελεστή μαζί με τη μοναδικότητα αποτελούν μέρος του θεωρήματος του Riesz, που εξασφαλίζει ότι ο τελεστής είναι καλά ορισμένος.

Ένα αποτέλεσμα του τύπου Hellinger-Toeplitz αναφέρει ότι ο τελεστής έχει φραγμένους και παντού ορισμένους συζυγείς είναι φραγμένος.

Η συνθήκη για ένα γραμμικό τελεστή σε ένα χώρο Hilbert να είναι αυτοσυζυγής είναι ισχυρότερη από το να είναι γραμμικός. Παρά το γεγονός ότι η διάκριση αυτή είναι τεχνική, είναι πολύ σημαντική; το φασματικό θεώρημα ισχύει μόνο για τους τελεστές που είναι αυτοσυζυγείς και όχι για τους τελεστές που είναι απλώς συμμετρικοί. Για μια εκτενή συζήτηση της διάκρισης, βλέπε κεφάλαιο 9 από Hall (2013).

Για κάθε πυκνά ορισμένο τελεστή A στο χώρο Hilbert μπορεί κανείς να ορίσει το συζυγή τελεστή του, A*. Για ένα συμμετρικό τελεστή A, το πεδίο ορισμού του τελεστή A* περιέχει το πεδίο ορισμού του τελεστή A, και ο περιορισμός του τελεστή A* στο πεδίο ορισμού του συμπίπτει με του A, δηλαδή A ⊆ A*. Με άλλα λόγια A* είναι μία προέκταση του A. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή A το πεδίο ορισμού του A* είναι το ίσιο με του τελεστή A, και A=A*.

Υπάρχει μία χρήσιμη γεωμετρική σκοπιά για την μελέτη του συζυγή ενός τελεστή A στον H με τον εξής τρόπο : θεωρούμε το γράφημα G(A) του A που ορίζεται ως εξής

${\displaystyle \operatorname {G} (A)=\{(\xi ,A\xi ):\xi \in \operatorname {dom} (A)\}\subseteq H\oplus H.}$ 

Θεώρημα. Ας είναι J μία συμπλεκτική απεικόνιση

${\displaystyle {\begin{cases}H\oplus H\to H\oplus H\\\operatorname {J} :(\xi ,\eta )\mapsto (-\eta ,\xi )\end{cases}}}$ 

Τότε το γράφημα του A* είναι τοορθογώνιο συμπλήρωμα του JG(A):

${\displaystyle \operatorname {G} (A^{*})=(\operatorname {J} \operatorname {G} (A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:\langle (x,y)|(-A\xi ,\xi )\rangle =0\;\;\forall \xi \in \operatorname {dom} (A)\}}$ 

Ένας πυκνά ορισμένος τελεστής A είναι συμμετρικός αν και μόνο αν A ⊆ A*, όπου ο συμβολισμός του υποσυνόλου A ⊆ A* σημαίνει ότι G(A) ⊆ G(A*). Ένας τελεστής A είναι αυτοσυζυγής αν και μόνο αν A = A* ˙ με άλλα λόγια, αν και μόνο αν G(A) = G(A*).

Παράδειγμα. Θεωρούμε το μιγαδικό χώρο Hilbert L²(R), και τον τελεστή που πολλαπλασιάζει μία δοθείσα συνάρτηση με το x:

${\displaystyle Af(x)=xf(x)}$ 

Το πεδίο ορισμού του A είναι ο χώρος όλων των L² συναρτήσεων για τις οποίες το δεξιό μέρος είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμο .A είναι ένας συμμετρικός τελεστής χωρίς ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις. Πράγματι, καταλήγουμε ότι ο τελεστής είναι αυτοσυζυγής ,όπως αποφαίνεται από την θεωρία που περιγράφεται παρακάτω.

Όπως θα δούμε αργότερα, οι αυτοσυζυγείς τελεστές έχουν πολύ σημαντικές φασματικές ιδιότητες˙ είναι πράγματι πολλαπλασιαστικοί τελεστές των γενικών χώρων μέτρου.

Οι μερικώς ορισμένοι τελεστές A, B στους χώρους Hilbert H, K είναι μοναδιαία ισοδύναμοι αν και μόνο αν υπάρχει ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός U : H → K έτσι ώστε

• Το U αντιστοιχεί το dom A ισόμορφα στο dom B,

• ${\displaystyle BU\xi =UA\xi ,\qquad \xi \in \operatorname {dom} A.}$ 

Ένας πολλαπλασιαστικός τελεστής ορίζεται ως εξής: Ας είναι (X, Σ, μ) ένας αριθμήσιμα προσθετικός χώρος μέτρου και f μία πραγματική μετρήσιμη συνάρτηση στο X. Ένας τελεστής T της μορφής

${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$ 

του οποίου το πεδίο ορισμού είναι ο χώρος της ψ για τον οποίο το δεξιό μέλος της επάνω σχέσης είναι στον L² ,ονομάζεται πολλαπλασιαστικός τελεστής.

Θεώρημα. Κάθε πολλαπλασιαστικός τελεστής είναι ένας (πυκνά ορισμένος) αυτοσυζυγής τελεστής. Κάθε αυτοσυζυγής τελεστής είναι μοναδιαία ισοδύναμος με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή.

Αυτός ο τύπος του φασματικού θεωρήματος για αυτοσυζυγείς τελεστές μπορεί να αποδειχθεί με αναγωγή στο φασματικό θεώρημα για μοναδιαίους τελεστές. Αυτή η αναγωγή χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό του Cayley για αυτοσυζυγείς τελεστές ,ο οποίος ορίζεται στην επόμενη ενότητα. Εάν T είναι πολλαπλασιασμός με το f, τότε το φάσμα του T είναι απλά το ουσιώδες πεδίο τιμών της f.

Δοθείσας της αναπαράστασης του T ως έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή, είναι εύκολο να χαρακτηρίσουμε τον Borel συναρτησιακό λογισμό: Αν h είναι μία πραγματική φραγμένη Borel συνάρτηση στο R, τότε h(T) είναι ο τελεστής του πολλαπλασιασμού από την σύνθεση h ∘ f. Για να οριστεί αυτό καλά, πρέπει να δείξουμε ότι είναι ο μοναδικός τελεστής των φραγμένων πραγματικών Βorel συναρτήσεων που ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες.

Έχει γίνει σύνηθες να εισάγουμε την ακόλουθη

${\displaystyle \operatorname {E} _{T}(\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$ 

όπου ${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$  είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήματος ${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$ . Η οικογένεια των προβολικών τελεστών E_T(λ) ονομάζεται ανάλυση της ταυτότητας για το T. Επιπλέον, η ακόλουθη αναπαράσταση του T ως Stieltjes ολοκλήρωμα μπορεί να αποδειχθεί:

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} _{T}(\lambda ).}$ 

Ο ορισμός του ολοκληρώματος του τελεστή από πάνω μπορεί να αναχθεί σε ένα βαθμωτό Stieltjes ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας την ασθενή τοπολογία του τελεστή. Παρόλα αυτά στις πιο μοντέρνες χρήσεις, αυτή η αναπαράσταση συνήθως αποφεύγεται, καθώς περισσότερα τεχνικά προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν από τον συναρτησιακό λογισμό.

Στη φυσική, ιδιαίτερα στην κβαντική μηχανική, το φασματικό θεώρημα εκφράζεται με έναν τρόπο που συνδυάζει το φασματικό θεώρημα όπως δηλώθηκε παραπάνω και τον Borel συναρτησιακό λογισμό, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Dirac ως εξής:

Αν H είναι αυτοσυζυγής και f είναι μία Borel συνάρτηση,

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$ 

με

${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$ 

όπου το ολοκλήρωμα διατρέχει όλο το φάσμα του H. Ο συμβολισμός υποδηλώνει ότι το H διαγωνοποιείται από τα ιδιοδιανύσματα Ψ_E. Ένας τέτοιος συμβολισμός είναι αυστηρά τυπικός.Μπορεί να διακριθεί η ομοιότητα μεταξύ του συμβολισμού Dirac και του προηγούμενου. Η ανάλυση της ταυτότητας(μερικές φορές ονομάζεται μέτρα που αποτυπώνουν την προβολή) επισήμως μοιάζει στις προβολές βαθμίδας-1 ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle \langle \Psi _{E}|}$ . Στον συμβολισμό Dirac, οι (προβολικές) μετρήσεις περιγράφονται μέσω των ιδιοτιμών και των ιδιοκαταστάσεων, και τα δύο αυστηρά τυπικά αντικείμενα. Όπως κανείς θα περίμενε, αυτό δεν αποτελεί πέρασμα στην ανάλυση της ταυτότητας. Στην τελευταία διατύπωση, οι μετρήσεις περιγράφονται χρησιμοποιώντας το φασματικό μέτρο του ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ , αν το σύστημα είναι προετοιμασμένο στο ${\displaystyle |\Psi \rangle }$  πριν τη μέτρηση. Αλλιώς, αν κάποιος θα ήθελε να διατηρήσει την αίσθηση των ιδιοκαταστάσεων και να τις κάνει ακριβείς, και όχι μονάχα τυπικές, μπορεί να αντικαταστήσει το χώρο καταστάσεων από έναν συμβατό εξαρτημένο χώρο Hilbert.

Αν f = 1, το θεώρημα αναφέρεται ως ανάλυση της μονάδας:

${\displaystyle I=\int dE|\Psi _{E}\rangle \langle \Psi _{E}|}$ 

Στην περίπτωση ${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$  είναι το άθροισμα ενός Ερμιτιανού H και ενός ανθερμιτιανού τελεστή ${\displaystyle -i\Gamma }$ , κάποιος ορίζει το σύνολο της ορθοκανονικής βάσης

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}|\Psi _{E}^{*}\rangle =E^{*}|\Psi _{E}^{*}\rangle }$ 

Και γράφει το φασματικό θεώρημα ως:

${\displaystyle f(H_{\text{eff}})=\int dE|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}^{*}|}$ 

(Βλ. Feshbach–Fano διαμέριση μέθοδος για το γενικό πλαίσιο όταν τέτοιου είδους τελεστές εμφανίζονται στη θεωρία διασποράς.)

Η επόμενη ερώτηση προκύπτει σε διάφορα πλαίσια: αν ο τελεστής Α στον χώρο Hilbert H είναι συμμετρικός, πότε έχει αυτοσυζυγείς επεκτάσεις; Μία απάντηση παρέχεται από τον μετασχηματισμό Cayley ενός αυτοσυζυγή τελεστή και τους ελλειπτικούς δείκτες. (Για τεχνική ευκολία συχνά ασχολούμαστε με κλειστούς τελεστές, στη συμμετρική περίπτωση, η απαραίτητη προϋπόθεση της κλειστότητας δεν θέτει εμπόδια, καθώς είναι γνωστό ότι όλοι οι συμμετρικοί τελεστές είναι κλειστοί).

Θεώρημα. Υποθέτουμε ότι A είναι ένας συμμετρικός τελεστής. Τότε υπάρχει ένας μοναδικός μερικώς ορισμένος γραμμικός τελεστής

${\displaystyle \operatorname {W} (A):\operatorname {ran} (A+i)\to \operatorname {ran} (A-i)}$ 

έτσι ώστε

${\displaystyle \operatorname {W} (A)(Ax+ix)=Ax-ix,\qquad x\in \operatorname {dom} (A).}$ 

Εδώ, το ran και το dom δηλώνουν το πεδίο τιμών και το πεδίο ορισμού, αντίστοιχα. Το W(A) είναι ισομετρικό στο πεδίο ορισμού του. Επιπλέον, το πεδίο τιμών 1 − W(A) είναι πυκνό στην H.

Αντιστρόφως, για κάθε μερικώς ορισμένος τελεστής U που είναι ισομετρικός στο πεδίο ορισμού του (το οποίο δεν είναι απαραίτητα κλειστό) και για τον οποίο το 1 − U είναι πυκνό, υπάρχει ένας (μοναδικός) τελεστής S(U)

${\displaystyle \operatorname {S} (U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$ 

έτσι ώστε

${\displaystyle \operatorname {S} (U)(x-Ux)=i(x+Ux)\qquad x\in \operatorname {dom} (U).}$ 

Ο τελεστής S(U) είναι πυκνά ορισμένος και συμμετρικός. Οι απεικονίσεις W και S είναι αντίστροφες η μία της άλλης.

Η απεικόνιση W ονομάζεται μετασχηματισμός Cayley . Συνδέει μία μερικώς ορισμένη ισομετρία με κάθε συμμετρικό μερικώς ορισμένο τελεστή. Σημειώστε ότι οι απεικονίσεις W και S είναι μονότονες : Αυτό σημαίνει ότι αν B είναι ένας συμμε��ρικός τελεστής ο οποίος επεκτείνει τον πυκνά ορισμένο συμμετρικό τελεστή A, τότε ο W(B) επεκτείνει τον W(A), και ομοίως για το S.

Θεώρημα. Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το A αυτοσυζυγής είναι ο μετασχηματισμός Cayley του, W(A), να είναι μοναδιαίος.

Αυτό αμέσως μας δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει το A αυτοσυζυγή επέκταση, ως εξής:

Θεώρημα. Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε το A να έχει μια αυτοσυζυγή επέκταση είναι το W(A) να έχει μια μοναδιαία επέκταση.

Ένας μερικώς ορισμένος ισομετρικός τελεστής V σε έναν χώρο Hilbert H έχει μια μοναδική ισομετρική επέκταση στη νόρμα κλειστότητας του dom(V). Ένας μερικώς ορισμένος ισομετρικός τελεστής με κλειστό πεδίο ορισμού ονομάζεται μερική ισομετρία. Δοθείσας μίας μερικής ισομετρίας V, οι ελλειπτικοί δείκτες του V ορίζονται ως η διάσταση του ορθογώνιου συμπληρώματος του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών:

${\displaystyle n_{+}(V)=\operatorname {dim} \ \operatorname {dom} (V)^{\perp }}$ 

${\displaystyle n_{-}(V)=\operatorname {dim} \ \operatorname {ran} (V)^{\perp }}$ 

Θεώρημα. Μία μερική ισομετρία V έχει μοναδιαία επέκταση αν και μόνο αν οι ελλειπτικοί δείκτες είναι ταυτόσημοι. Επιπλέον, η V έχει μια “μοναδική’’ μοναδιαία επέκταση αν και μόνο αν και οι δύο ελλειπτικοί δείκτες είναι μηδενικοί.

Βλέπουμε ότι υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ των συμμετρικών επεκτάσεων ενός τελεστή και των ισομετρικών επεκτάσεων των Cayley μετασχηματισμών τους. Ένας τελεστής ο οποίος έχει μια μοναδική αυτοσυζυγή επέκταση λέγεται ότι είναι ουσιωδώς αυτοσυζυγής. Τέτοιου είδους τελεστές έχουν ένα καλά ορισμένο Borel συναρτησιακό λογισμό. Οι συμμετρικοί τελεστές που δεν είναι ουσιωδώς αυτοσυζυγείς μπορεί ακόμη να έχουν μια κανονική αυτοσυζυγή επέκταση. Τέτοια είναι η περίπτωση για τους μη αρνητικούς συμμετρικούς τελεστές ( ή γενικότερα, τελεστές που είναι άνω φραγμένοι ). Αυτοί οι τελεστές πάντα έχουν μια κανονικά ορισμένη Friedrichs επέκταση και για αυτούς τους τελεστές μπορούμε να ορίσουμε έναν κανονικό συναρτησιακό λογισμό. Πολλοί τελεστές που προκύπτουν στην ανάλυση είναι άνω φραγμένοι (όπως οι αρνητικοί των Laplacian τελεστών), έτσι το πρόβλημα της ουσιώδης συζυγίας για αυτούς τους τελεστές είναι λιγότερο κρίσιμο.

Στην κβαντική μηχανική οι παρατηρήσιμες μεταβλητές αντιστοιχούν σε αυτοσυζυγείς τελεστές. Από το θεώρημα του Stone για μοναδιαίες ομάδες με μία παράμετρο, οι αυτοσυζυγείς τελεστές είναι ακριβώς οι απειροστοί γεννήτορες των μοναδικών ομάδων της χρονικής εξέλιξης τελεστών. Ωστόσο πολλά προβλήματα στην φυσική είναι διατυπωμένα ως εξίσωση χρονικής εξέλιξης,περιλαμβάνοντας διαφορίσιμους τελεστές για τους οποίους η μόνη συμμετρική είναι η Χαμιλτονιανή μεταβλητή.Σε τέτοιες περιπτώσεις είτε η Χαμιλτιανή είναι ουσιοδώς αυτοσυζυγής τελεστής,όπου εδώ το πρόβλημα φυσικής έχει μοναδικές λύσεις ή προσπαθεί να βρει αυτοσυζυγείς επεκτάσεις των Χαμιλτιανών που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους συνοριακών συνθηκών ή των συνθηκών στο άπειρο.

Παράδειγμα.Ο μονοδιάστατος τελεστής Schrödinger με δυναμικό ${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$ ,ορισμένος αρχικά για τους ομαλούς συμπαγείς φορείς συναρτήσεων,είναι ουσιαστικά αυτοσυζυγής(δλδ έχει έναν αυτοσυζυγή κλειστότητας) για 0 < α ≤ 2αλλά όχι για α > 2..Βλέπε Berezin και Schubin σελίδες 55 και 86 ή στην ενότητα 9.10 του Hall. Παράδειγμα. Δεν υπάρχει αυτοσυζυγής τελεστής ροπής p. για ένα σωματίδιο που κινείται σε μια ημιευθεία .Παρόλα αυτά το Χαμιλτονιανό ${\displaystyle p^{2}}$  του "ελεύθερου" σωματιδίου σε ημιευθεία έχει πολλές αυτοσυζυγείς επεκτάσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους συνοριακών συνθηκών.Φυσικά,αυτές οι συνοριακές συνθήκες σχετίζονται από την αρχή με τις συμμετρίες του σωματιδίου.(βλέπε Reed και Simon, vol.2).

Ας υποθέσουμε ότι ο A είναι πυκνά και συμμετρικά ορισμένος.Έπειτα κάθε συμμετρική επέκταση του Α είναι ένας περιορισμός του A A*.Πράγματι αν το B είναι συμμετρικό τότε το A ⊆ B συνεπάγεται ότι B* ⊆ A*.

Θεώρημα.Υποθέτουμε ότι το A είναι πυκνά και συμμετρικά ορισμένος τελεστής.Έχουμε

${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ran} (A\pm i)^{\perp },}$ 

τότε

${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ker} (A^{*}\mp i),}$ 

και

${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})=\operatorname {dom} ({\overline {A}})\oplus N_{+}\oplus N_{-},}$ 

όπου η ανάλυση είναι ορθογώνια σε σχέση με την γραφική παράσταση του εσωτερικού γινομένου του

dom(A*):

${\displaystyle \langle \xi |\eta \rangle _{\mathrm {graph} }=\langle \xi |\eta \rangle +\langle A^{*}\xi |A^{*}\eta \rangle }$ .

Στην αναφορά του Akhiezer και του Glazman τα παραπάνω αναφέρονται ως τύποι του Von Neumann.

Αρχικά εξετάζουμε τον διαφορικό τελεστή

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$ 

που ορίζεται στον χώρο των μιγαδικών C^∞ συναρτήσεων στο [0,1] τείνοντας προς το 0 και το 1.Το D είναι ένας συμμετρικός τελεστής όπως μπορεί ν'αποδειχθεί από την ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Οι χώροι N₊, N₋ δίνονται αντίστοιχα από λύσεις κατανομών του τελεστή

${\displaystyle u'=iu}$ 

${\displaystyle u'=-iu}$ 

οι οποίοι είναι στο L²[0, 1]. Μπορεί κάποιος ν'αποδείξει ότι καθένα από τα διαστήματα λύσης είναι μονοδιάστατο,παραγόμενο καθένα από τις συναρτήσεις x → e^ix and x → e^−ix αντίστοιχα. Αυτό μας δείχνει ότι το D δεν είναι ουσιοδώς αυτοσυζυγής, αλλά έχει αυτοσυζυγείς επεκτάσεις.Αυτές οι αυτοσυζυγείς επεκτάσεις είναι παραμετρικοποιημένες στο διάστημα των απεικονίσεων N₊ → N₋,οι οποίες στην προκειμένη περίπτωση τυγχάνει να είναι ο μοναδιαίος κύκλος T.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει το πραγματικό γεγονός ότι σχετικά με τις αυτοσυζυγείς επεκτάσεις των διαφορικών τελεστών P σε ένα ανοιχτό σύνολοM.Αυτές καθορίζονται από μοναδιαίες απεικονίσεις ανάμεσα στο διάστημα ιδιοτιμών

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$ 

όπου P_dist είναι η διανεμητική επέκταση του P.

Στη συνέχεια θα δώσουμε ένα παράδειγμα διαφορικών τελεστών σταθερό συντελεστή.Ας είναι

${\displaystyle P({\vec {x}})=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$ 

ένα πολυώνυμο στονRⁿ με πραγματικούς συντελεστές που κυμαίνονται πάνω από (πεπερασμένο) σύνολο πολλαπλών δεικτών. Έτσι

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ 

και

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$ 

χρησιμοποιούμε επίσης την παράσταση

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$ 

Έπειτα ο τελεστής P(D) ορίζεται στο διάστημα των απείρως διαφορίσιμων συναρτήσεων των συμπαγών φορέων του Rⁿ από

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$ 

είναι ουσιοδώς αυτοσυζυγής στο L²(Rⁿ).

Θεώρημα.Έστω Pμια πολυωνυμική συνάρτηση στον Rⁿ με πραγματικούς συντελεστές, F ο μετασχηματισμός Fourier λαμβάνοντας υπόψιν ως μοναδιαία απεικόνιση την L²(Rⁿ) → L²(Rⁿ). Στη συνέχεια F*P(D)Fείναι ουσιοδώς αυτοσυζυγής και η μοναδική του αυτοσυζυγή επέκταση είναι ο τελεστής του πολλαπλασιασμού από την συνάρτηση P.

Γενικότερα θεωρούμε ότι οι γραμμικοί διαφορικοί τελεστές ενεργούν σε απείρως διαφορίσιμες μιγαδικές συναρτήσεις των φορέων συμπαγότητας.Αν M είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο του Rⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)[D^{\alpha }\phi ](x)}$ 

όπου a_α είναι (όχι απαραίτητα σταθερή) απείρως διαφορίσιμες συναρτήσεις.Ο P είναι ένας γραμμικός τελεστής

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$ 

που αντιστοιχεί στο P υπάρχει και και ένας άλλος διαφορικός τελεστής ο τυπικός συζυγής του P

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }({\overline {a_{\alpha }}}\phi )}$ 

Θεώρημα.Ο θεωρητικός συζυγής τελεστής P* του P είναι ένας περιορισμός της κατανομής επέκτασης του τυπικού συζυγή.Συγκεκριμένα:

${\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}$ 

Η πολλαπλασιαστική αναπαράσταση ενός αυτοσυζυγή τελεστή αν και εξαιρετικά χρήσιμη δεν είναι μια κανονική αναπαράσταση.Αυτό δείχνει ότι δεν είναι εύκολο να εξαχθεί από αυτήν την αναπαράσταση ένα κριτήριο που θα καθορίζει πότε οι αυτοσυζυγείς τελεστές A and B είναι μοναδικά ισοδύναμοι.Η καλύτερη αναπαράσταση που θα συζητήσουμε τώρα,περιλαμβάνει φασματική πολλαπλότητα.Αυτός ο κύκλος των αποτελεσμάτων ονομάζεται θεωρία φασματικής πολλαπλότητας Hahn-Hellinger.

Αρχικά ορίζουμε την ομαλή πολλαπλότητα:

Ορισμός.Ένας αυτοσυζυγής τελεστής A έχει ομαλή πολλαπλότητα n όπου n τέτοιο ώστε 1 ≤ n ≤ ω αν και μόνον αν το A είναι μοναδικά ισοδύναμο με τον τελεστή M_f από τον πολλαπλασιασμό με την συνάρτηση f(λ) = λ για

${\displaystyle L_{\mu }^{2}(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n})=\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\mbox{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \}}$ 

όπου H_n είναι ένα διάστημα Hilbert διάστασης n.Το πεδίο ορισμού της M_f αποτελείται από διανυσματική συνάρτηση ψ στο R τέτοια ώστε

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$ 

Μη αρνητικά αριθμήσιμα προσθετικά μέτρα μ, ν είναι αμοιβαία χαρακτηριστικά αν και μόνον αν υποστηρίζονται σε ανεξάρτητα σύνολα Borel.

Θεώρημα.Έστω A αυτοσυζυγής τελεστής σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H.Τότε υπάρχει μια ακολουθία ω των προσθετικών αριθμήσιμων πεπερασμένων μέτρων στο R (κάποια από τα οποία μπορεί να είναι πανομοιότυπα 0)

${\displaystyle \{\mu _{\ell }\}_{1\leq \ell \leq \omega }}$ 

Έτσι ώστε τα μέτρα είναι κατά ζεύγη μοναδικά και A είναι μια μονάδα που αντιστοιχεί στον τελεστή πολλαπλασιασμού με την f(λ) = λ για

${\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}$ 

Αυτή η παράσταση είναι μοναδική με την εξής έννοια:Για κάθε δύο τέτοιες αναπαραστάσεις του ίδιου A, τα αντίστοιχα μέτρα είναι ισοδύναμα ,με την έννοια ότι έχουν τα ίδια σύνολα μέτρου 0.

Το θεώρημα φασματικής πολλαπλότητας μπορεί να διατυπωθεί κατευθείαν,χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα των χώρων Hilbert:

Θεώρημα.Κάθε αυτοσυζυγής τελεστής σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό με την συνάρτηση λ → λ για

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{x}d\mu (x).}$ 

Η κλάση ισοδυναμίας του μέτρου μ (ή ισοδύναμα σύνολα μέτρου 0) καθορίζεται μοναδικά και η μετρήσιμη οικογένεια {H_x}_x καθορίζεται σχεδόν παντού σε σχέση με το μ.

Η Laplacian στον Rⁿ είναι ο τελεστής

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$ 

Όπως παρατηρούμε παραπάνω, η Laplacian διαγωνοποιείται από τον μετασχηματισμό Fourier.Στην πραγματικότητα είναι πιο φυσικό να θεωρήσουμε την αρνητικότητατου Laplacian −Δ δεδομένου ότι σαν τελεστής είναι μη αρνητικός; (ελλειπτικός τελεστής).

Θεώρημα. Ανn=1, τότε −Δ έχει ομοιόμορφη πολλαπλότητα mult=2, διαφορετικά −Δ έχει ομοιόμορφη πολλαπλότητα mult=ω. Επιπλέον, το μέτρο μ_mult είναι Borel μέτρο στο [0, ∞).

Ένας αυτοσυζυγής τελεστής A στο H έχει καθαρό σημείο φάσματος αν το H έχει ορθοκανονική βάση {e_i}_{i ∈ I} αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα για την A.

Παράδειγμα. Η Χαμιλτονιανή για την αρμονική ταλάντωση έχει τετραγωνικό δυναμικό V, δηλαδή

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$ 

Αυτή η Χαμιλτονιανή έχει καθαρό σημείο φάσματος; αυτό είναι χαρακτηριστικό της δέσμιας Χαμιλτονιανής κατάστασης στην κβαντική μηχανική.Όπως επισημάνθηκε σε προηγούμενο παράδειγμα , μια επαρκής προϋπόθεση του ότι ένας μη φραγμένος συμμετρικός τελεστής έχει ιδιοδιανύσμτα που αποτελούν την βάση Hilbert είναι ότι έχει έναν συμπαγή αντίστροφο.

• Akhiezer, N. I.· Glazman, I. M. (1981). Theory of Linear Operators in Hilbert Space. Two volumes. Pitman. 
• Berezin, F. A.· Shubin, M. A. (1991). The Schrödinger Equation. Kluwer. 
• Kato, T. (1966). Perturbation Theory for Linear Operators. New York: Springer. 
• Hall, B. C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. New York: Springer. 
• Reed, M.· Simon, B. (1972). Methods of Mathematical Physics. Vol 2. Academic Press. 
• Teschl, G. (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. 
• Yosida, K. (1965). Functional Analysis. Academic Press.