Quelltext der Seite Magnetisches Vektorpotential

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{{Infobox Physikalische Größe
| Name = magnetisches Vektorpotential
| Formelzeichen = <math> \vec A </math>
| SI = [[Tesla (Einheit)|T]]·[[Meter|m]] = [[Volt|V]]·[[Sekunde|s]]·[[Meter|m]]<sup>−1</sup>
| SI-Dimension = [[Masse (Physik)|M]]<sup>1</sup> [[Länge (Physik)|L]]<sup>1</sup> [[Zeit|T]]<sup>−2</sup> [[elektrische Stromstärke|I]]<sup>−1</sup>
}}

Das '''magnetische''' '''Vektorpotential''' <math>\vec A</math>, oft auch nur als '''Vektorpotential''' bezeichnet, ist in der klassischen [[Elektrodynamik]] ein [[Vektorfeld]] dessen [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] die [[magnetische Flussdichte]] <math>\vec B(\vec r)</math> ergibt

:<math> \nabla \times \vec A(\vec r) = \vec B (\vec r)</math>.
Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u.&nbsp;a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen [[Feld (Physik)|Felds]] verwendeten [[Maxwell-Gleichungen]] zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der [[Quantenmechanik]] physikalische Realität zu, wie das [[Aharonov-Bohm-Effekt|Aharonov-Bohm-Experiment]] zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit <math>[A] = \mathrm{T\cdot m}=\mathrm{\frac{V\,s}{m}}</math>.

== Definition ==

Das magnetische Vektorpotential <math>\vec A(\vec r, t)</math> ist ein [[Vektorfeld]], das zusammen mit dem [[Elektrisches Potential|elektrischen Potential]] <math>\Phi (\vec r, t)</math> durch die Gleichungen

:<math>\vec B = \nabla \times \vec A(\vec r, t) \qquad \vec E = - \nabla \Phi (\vec r, t) - \frac{\partial \vec A (\vec r, t)}{\partial t}</math>

definiert ist. <math>\vec B</math> steht für die [[magnetische Flussdichte]], <math>\vec E</math> für das [[Elektrische Feldstärke|elektrische Feld]]. In der [[Magnetostatik]] ist das magnetische Vektorpotential <math>\vec A(\vec r)</math> nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

:<math>\vec B = \nabla \times \vec A (\vec r)</math>

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen [[Vektorpotential]]s.

== Berechnung ==

=== Magnetostatik ===
In der [[Magnetostatik]] erfüllt das Vektorpotential die [[Poisson-Gleichung]] (mit der [[Magnetische Feldkonstante|Vakuumpermeabilität]] <math>\mu_0</math>):

:<math> \nabla^2 \vec A(\vec r) = - \mu_0 \vec {j}</math>.

Diese [[Differentialgleichung]] kann mit einer [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] (siehe [[Greensche Funktion]]) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:

:<math> \vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r}')}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\mathrm{d}^3r'\,,</math>

Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte <math>\vec j</math> im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie <math>1/r</math> gegen null geht.

=== Elektrodynamik ===
In der [[Elektrodynamik]] erweitert sich die [[Poisson-Gleichung]] zur (inhomogenen) [[Wellengleichung]] für das Vektorpotential

:<math> \Box \vec A(\vec r,t) = \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \vec A(\vec r,t) - \nabla^2 \vec A(\vec r,t)  = \mu_0 \vec {j}</math>,

wobei <math>\Box</math> der [[D’Alembert-Operator]] ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das ''retardierte'' bzw. ''avancierte'' Vektorpotential
:<math> \vec A(\vec r ,t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r}', t')}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\mathrm{d}^3r'</math>, mit <math>t'=t \mp \frac{|\vec r -\vec r'|}{c}</math>.

== Eigenschaften ==
Weil die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] einer [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] immer Null ist, gilt

:<math>\begin{align}
   \nabla \cdot \mathbf{B} &= \nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = 0 \\
  \nabla \times \mathbf{E} &= \nabla \times \left( -\nabla\phi - \frac{ \partial\mathbf{A} }{ \partial t } \right) = -\frac{ \partial }{ \partial t } \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = -\frac{ \partial \mathbf{B} }{ \partial t }.
\end{align}</math>

Die Definition sorgt so dafür, dass [[Induktionsgesetz]] und das [[Gaußsches Gesetz]] für Magnetfelder, also zwei der [[Maxwell-Gleichungen]], automatisch erfüllt sind.

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht [[Konservative Kraft|konservativ]]. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes <math>\alpha</math> darstellbar und es würde gelten:

:<math> \vec B(\vec r) = \nabla \times \vec A(\vec r) = \nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.</math>

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Relativitätstheorie]] und der [[Quantenelektrodynamik]] zum Viererpotential
:<math>A^{\mu} = \left(\Phi/c, \vec A\right)</math>
zusammengefasst.

== Eichungen ==
{{Hauptartikel|Eichtransformation}}
* Das Vektorpotential ist nur bis auf ein [[Gradientenfeld]] bestimmt, weil die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion <math>\chi (\vec r , t)</math> gilt also
::<math>\begin{align}
  \vec A(\vec r , t)' &= \vec A(\vec r , t)+ \nabla \chi (\vec r ,t)\\
  \Rightarrow\;\; \vec B(\vec r , t)' &=  \nabla \times \vec A(\vec r , t)'= \nabla \times \vec A(\vec r , t) + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A(\vec r , t)
= \vec B(\vec r , t)\,.
\end{align}</math>

:Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als [[Eichinvarianz]] bezeichnet.

* In der [[Magnetostatik]] kann das Vektorpotential über die [[Coulomb-Eichung]] [[quellfrei]] gemacht werden, das bedeutet
::<math>\nabla \cdot\vec A(\vec r) = 0</math>.
* In der [[Elektrodynamik]], d.&nbsp;h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende [[Lorenz-Eichung]], die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:
::<math> \nabla \cdot\vec A(\vec r , t) + \frac{1}{\ c^2}\partial_t\Phi (\vec r , t) = 0\,.</math> Dabei ist <math>\Phi (\vec r , t)</math> das skalare Potential (s.&nbsp;u.) und <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]].

== Elektrisches Vektorpotential ==
Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z.&nbsp;B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential <math>\vec F </math>, es hat die Einheit einer [[Linienladungsdichte]] <math>\frac{C}{m}</math>.

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt
:<math>\operatorname{div} \vec D = 0</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp;  bzw.
:<math>\operatorname{div} \vec E = 0</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp;  sowie
:<math>\operatorname{div} \operatorname{rot} \vec F = 0</math>.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen <math>\vec D (r)</math> und <math>\vec F (r)</math> zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen <math>\operatorname{div} \vec D = 0</math>  und <math>\operatorname{div} \operatorname{rot} \vec F = 0</math> voneinander und erhält:

: <math>\operatorname{div} ( \vec D - \operatorname{rot} \vec F ) = 0</math>

<!--Daraus folgt dann
: <math>\vec D = \operatorname{rot} \vec F </math>

Das Vektorfeld <math>\vec D </math> ist also die Wirbeldichte von <math>\vec F </math>.
-->
Das [[Feldtheorie (Physik)|Wirbelfeld]] <math>\vec F </math> nennt man ''elektrisches'' Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich ''veränderliche elektrische'' Felder.

== Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential ==
Gemäß dem [[Helmholtz-Theorem|helmholtzschen Theorem]] kann (fast) ''jedes'' Vektorfeld <math>\vec K(\vec r)</math> als [[Superposition (Physik)|Superposition]] zweier Komponenten <math>\vec F(\vec r)</math> und
<math>\vec G(\vec r)</math> aufgefasst werden, deren erste der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines [[Skalarpotential]]s <math>\Phi(\vec r)</math> ist, die zweite dagegen die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] eines Vektorpotentials <math>\vec\Gamma(\vec r)</math>:

:<math>\vec K(\vec r) = \vec F(\vec r) + \vec G(\vec r) = \operatorname{grad}\,\Phi(\vec r) + \operatorname{rot}\,\vec \Gamma(\vec r) = \nabla\Phi(\vec r) + \nabla \times\vec \Gamma(\vec r)</math>

Ist <math>\vec F(\vec r)\,</math> ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft <math>\vec F\,</math> dem [[Prinzip des kleinsten Zwanges]] folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials <math>\Phi\ </math> entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

:<math>\vec K(\vec r) = \vec F(\vec r) + \vec G(\vec r) = -\operatorname{grad}\,\Phi(\vec r) + \operatorname{rot}\,\vec \Gamma(\vec r) = -\nabla\Phi(\vec r) + \nabla \times\vec \Gamma(\vec r).</math>

== Literatur ==
* Adolf J. Schwab: ''Begriffswelt der Feldtheorie.'' Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5.

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]

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