Positive und negative Zahlen

Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem Pluszeichen, negative Zahlen mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das Vorzeichen wird ohne Leerraum direkt an die erste Ziffer angeschlossen. Speziell im Finanzbereich werden negative Zahlen alternativ in Klammern geschrieben.

Auf der Zahlengeraden ist der Bereich der positiven Zahlen die rechte Halbachse und der Bereich der negativen Zahlen ist spiegelsymmetrisch die linke Halbachse.

Das Vorzeichen weist eine Zahl als positiv oder negativ aus. Die Vorzeichenfunktion liefert in Abhängigkeit vom Vorzeichen einen ganzzahligen Wert: −1 für negative Zahlen, 0 für die Zahl 0 und +1 für positive Zahlen.

Der Betrag einer Zahl ist gleich dem Abstand der Zahl zur Zahl 0. Der Betrag der 0 ist 0.

Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag, aber das gegenteilige Vorzeichen wie die Zahl. Zum Beispiel ist −3 die Gegenzahl von 3 und 16 die Gegenzahl von −16. Zahl und Gegenzahl haben die Eigenschaft, dass sie in Summe immer null ergeben, weshalb man die Gegenzahl in der Algebra auch als additiv inverses Element bezeichnet.^[2]

Der Begriff „positive“ bzw. „negative Zahl“ kann auf die ganzen Zahlen (eingebettet in die reellen Zahlen) übertragen werden. Die natürlichen Zahlen sind die positiven (oder bei entsprechender Definition die nichtnegativen) ganzen Zahlen. Hierbei hat sich die Schreibweise ${\displaystyle \mathbb {N} }$  (nur positive ganze Zahlen) bzw. ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$  (nichtnegative ganze Zahlen) eingebürgert. Nichtnegativ meint lediglich, dass auch die Null in dieser Menge betrachtet wird.

Fasst man die positiven reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge P zusammen und die negativen reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge N, so ist die Vereinigung der Mengen P und N, also die Menge aller Zahlen ungleich Null, eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.

Da z. B. die ganze Zahl 2 (bezüglich der Multiplikation) keine inverse ganze Zahl hat (1/2 ist keine ganze Zahl), gilt dies nicht für die ganzen Zahlen.

Wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine positive Zahl. Multipliziert man hingegen eine positive mit einer negativen Zahl, so ist das Ergebnis stets eine negative Zahl.

Viele Rechenfehler beruhen auf einer Verwechslung des Vorzeichens.

Ein bekanntes Beispiel ist die Hochrheinbrücke, wo bei der Brückenpfeilerberechnung der Korrekturwert von 27 cm mit dem falschen Vorzeichen eingesetzt wurde. Die Schweiz und Deutschland haben an der gemeinsamen Grenze ein um 27 cm unterschiedliches Höhensystem.^[3]

In manchen Bereichen haben sich besondere Begrifflichkeiten etabliert, durch die die Verwendung negativer Zahlen vermieden wird. So spricht man z. B. von „Schulden“ anstelle von „negativem Guthaben“ oder „Bremsen“ anstelle von „negativer Beschleunigung“. Auf der anderen Seite haben sich an manchen Stellen Skalen mit positiven und negativen Zahlen etabliert, wo negative Zahlen gar nicht erforderlich wären, wie etwa bei der Temperaturmessung (Celsius- und die Fahrenheitskala anstelle der Kelvinskala).

Die in diesem Artikel gewählte Terminologie ist inzwischen die – vor allem im deutschen Sprachraum – deutlich dominierende. Davon abweichend gibt es auch die Zuordnung der Zahl Null zu den positiven Zahlen. Ein prominentes Beispiel ist das Bourbaki-Projekt: „Dans notre terminologie, 0 appartient à N [Menge der natürlichen Zahlen], et est donc considéré comme positif; les entier positifs et ${\displaystyle \neq 0}$  sont dits strictement positifs.“ ^[4] Die deutsche Übersetzung lautet: „In unserer Terminologie gehört 0 zu N [der Menge der natürlichen Zahlen] und wird als positiv angesehen; ganze Zahlen, die positiv und ${\displaystyle \neq 0}$  sind, werden strikt positiv genannt.“

In Zusammenhängen, in denen nichtnegative Zahlen und Funktionen eine herausragende Bedeutung haben, werden diese manchmal – in der Tradition der Bourbaki-Notation – als positiv bezeichnet. „Wir bezeichnen eine reelle Zahl ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  und eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}}$  als positiv, wenn ${\displaystyle x\geq 0}$  bzw. ${\displaystyle f(\omega )\geq 0}$  für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$  gilt.“^[5]

• Reelle Zahlen
• positive Zahl auf spektrum.de (Lexikon der Mathematik)

1. ↑ Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / London / Paris / Tokyo / Hong Kong / Barcelona / Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0, 3.2.4 Nichtanordbarkeit des Körpers ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . 
2. ↑ Eric W. Weisstein: Additive Inverse. In: MathWorld (englisch).
3. ↑ Katrin Terpitz: Überall ist Babylon. Projekte in Firmen. In: handelsblatt.com. 30. September 2007, abgerufen am 10. Juli 2013. 
4. ↑ Nicolas Bourbaki: Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 978-3-540-34034-8, S. E.R.26, doi:10.1007/978-3-540-34035-5 (französisch, Nachdruck der Originalausgabe Hermann, Paris 1970). 
5. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 3, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.