Varians

Hvis man har et datasæt bestående af observationerne ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt den empiriske varians ${\displaystyle s^{2}}$ , som ikke er det samme som V (Varians). Denne er givet ved

${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n-1}}}$ 

hvor ${\displaystyle {\bar {x}}}$  er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og ${\displaystyle n}$  er antallet af observationer.

Den empiriske spredning ${\displaystyle s}$  er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

Regneteknisk kan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$  beregnes som ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{n}}}$ , hvilket betyder, at man kan summere data op løbende uden at beholde de enkelte observationer.

Variansen af en stokastisk variabel ganget med en konstant er lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2. potens. Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor ${\displaystyle X}$  er en stokastisk variabel, og ${\displaystyle a}$  og ${\displaystyle b}$  er konstanter):

${\displaystyle {\mbox{Var}}(a\cdot X+b)=a^{2}\cdot {\mbox{Var}}(X).}$ 

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange deres kovarians. Hvis ${\displaystyle X}$  og ${\displaystyle Y}$  er to stokastiske variable med kovarians ${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)}$  skrives det:

${\displaystyle \ {\mbox{Var}}(X+Y)={\mbox{Var}}(X)+{\mbox{Var}}(Y)+2{\mbox{Cov}}(X,Y).}$ 

Hvis ${\displaystyle X}$  og ${\displaystyle Y}$  er stokastisk uafhængige bliver kovariansen nul, og udtrykket kan reduceres til

${\displaystyle \ {\mbox{Var}}(X+Y)={\mbox{Var}}(X)+{\mbox{Var}}(Y).}$ 

Ofte kan nedenstående omskrivning gøre det lettere at beregne variansen af en stokastisk variabel.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}.\end{aligned}}}$ 

• Kovarians