File:01-Strahlensatz Anwendung Winkel.svg

Description01-Strahlensatz Anwendung Winkel.svg	Deutsch: Näherungskonstruktion eines Winkels in Dezimalgrad mittels des dritten Strahlensatzes English: Proximity construction of an angle in decimal degrees with the third intercept theorem
Date	27 October 2016
Source	Own work
Author	Petrus3743
Other versions
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Ein praktikables Beispiel für den dritten Strahlensatz in Kombination mit Zahlengeraden ist die Näherungskonstruktion eines Winkels in Dezimalgrad. Hierfür wird der Wert des Sinus oder des Kosinus vom gesuchten Winkel verwendet.

• Die Grundkonstruktion besteht aus einer Zahlengeraden s₁, zwei zur Zahlengeraden s₁ senkrecht stehenden parallelen Zahlengeraden s₂, s₃ jeweils mit zehn Teilungspunkten 0,1 bis 1,0 sowie einer Diagonalen ab 1,0 von s₃ durch 0,1 von s₂ bis zur Zahlengeraden s₁; es ergibt sich dabei auf s₁ der Scheitelpunkt E. Ein Viertelkreis um A ab 1,0 von s₂ bis s₁ bestimmt die Länge des ersten Winkelschenkels |A1,0| und schließt damit die Grundkonstruktion (Schema) ab.

• Für die Veranschaulichung der eigentlichen Konstruktion wurde der Winkel 57,14° mit seinem Sinuswert ca. 0,84 gewählt.
  • Zuerst wird der Teilungspunkt 0,4 mit dem Scheitelpunkt E verbunden, dabei entsteht auf s₂ der auf ein Zehntel verkleinerte Wert 0,04.
  • Nun nimmt man den Abschnitt der Werte 0,1 und 0,04 (größere Zirkelöffnung) in den Zirkel und überträgt ihn auf s₂ ab dem Teilungspunkt 0,9; somit ergibt sich der gewählte Sinuswert 0,84.
  • Eine abschließende zur Zahlengeraden s₁ parallele Linie ab dem Sinuswert 0,84 bis zum Viertelkreis ergibt den Schnittpunkt H für den zweiten Winkelschenkel |AH|. Der somit konstruierte Winkel 1,0AH hat den Näherungswert 57,14012...° mit einem absoluten Winkelfehler F_α ≈ 0,00012° < 1 Winkelsekunde = ${\displaystyle {\tfrac {\;1^{\circ }}{3600}}}$ = 0,00027°
• Werden die relevanten Teilungspunkte mit B, D, F und G bezeichnet, ergeben sich gemäß dem dritten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte:

${\displaystyle {\frac {|BG|}{|DF|}}={\frac {|AG|}{|CF|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|BG|}{|AG|}}={\frac {|DF|}{|CF|}}}$

• Absolute Fehler an der Sehne:

F = S_konstr. - S_theor.

F = 0,956465996 - 0,956464163 = 0,000001833

Beispiel: Bei einem Radius von 1 km wäre der absolute Fehler an der Sehne ca. 1,8 mm.

A practical example for the third intercept theorem in combination with the number line is the proximity construction of an angle in decimal degrees. For this purpose, the value of the sine or the cosine of the angle being sought is used.

• The basic construction consists of a number line s₁, two parallel number lines s₂, s₃ perpendicular to the number lines s₁, each with ten division points 0.1 to 1.0 and one diagonal from 1.0 of s₃ through 0.1 of s₂ to the number line s₁; this results in s₁ the vertex E. A quarter circle around A from 1.0 from s₂ to s₁ determines the length of the first angle limb | A1,0 | and thus completes the basic construction (scheme).

• For the purpose of illustrating the actual construction, the angle 57.14° with its sine value was selected about 0.84.
  • First, the divider point 0.4 is connected to the vertex E, resulting in a value reduced by one tenth from 0.04 on s₂.
  • Then the section of the values 0.1 till 0.04 (larger compass opening) is taken into the compass and transferred on s₂ from the divider point 0.9; thus the selected sine value is obtained.

• A final line parallel to the number line s1 from the sine value 0.84 to the quarter circle gives the intersection H for the second angle limb |AH|. The thus constructed angle 1.0AH has the approximation value 57.14012...° with an absolute angle error Fα ≈ 0.00012° < 1 second of arc = ${\displaystyle {\tfrac {\;1}{3600}}}$ degree = 0,00027°
• If the relevant dividing points are designated by B, D, F and G, the ratios of the sections are obtained according to the third intercept theorem:

${\displaystyle {\frac {|BG|}{|DF|}}={\frac {|AG|}{|CF|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|BG|}{|AG|}}={\frac {|DF|}{|CF|}}}$

• Absolute error at the chord:

F = S_constr. - S_theor.

F = 0.956465996 - 0.956464163 = 0.000001833

Example: For a radius of 1 km, the absolute error at the chord would be about 1.8 mm.

I, the copyright holder of this work, hereby publish it under the following license:

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International license.

You are free:

• to share – to copy, distribute and transmit the work
• to remix – to adapt the work

Under the following conditions:

• attribution – You must give appropriate credit, provide a link to the license, and indicate if changes were made. You may do so in any reasonable manner, but not in any way that suggests the licensor endorses you or your use.
• share alike – If you remix, transform, or build upon the material, you must distribute your contributions under the same or compatible license as the original.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue