Suavització additiva

An ${\displaystyle n\times n}$  matriu circulant ${\displaystyle C}$  pren la forma$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\cdots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\cdots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}}$$ o la transposició d'aquesta forma (per opció de notació). Si cadascú ${\displaystyle c_{i}}$  és un ${\displaystyle p\times p}$  matriu quadrada, llavors la ${\displaystyle np\times np}$  matriu ${\displaystyle C}$  s'anomena matriu bloc-circulant.

Una matriu circulant està totalment especificada per un vector, ${\displaystyle c}$ , que apareix com a primera columna (o fila) de ${\displaystyle C}$ . La resta de columnes (i files, respectivament) de ${\displaystyle C}$  són cadascuna permutació cíclica del vector ${\displaystyle c}$  amb un desplaçament igual a l'índex de columna (o fila, respectivament), si les línies s'indexen des de ${\displaystyle 0}$  a ${\displaystyle n-1}$ . (La permutació cíclica de files té el mateix efecte que la permutació cíclica de columnes.) L'última fila de ${\displaystyle C}$  és el vector ${\displaystyle c}$  desplaçat d'un al revés.

Diferents fonts defineixen la matriu circulant de diferents maneres, per exemple com l'anterior, o amb el vector ${\displaystyle c}$  corresponent a la primera fila en lloc de la primera columna de la matriu; i possiblement amb una direcció de desplaçament diferent (que de vegades s'anomena matriu anti-circulant).

El polinomi ${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\dots +c_{n-1}x^{n-1}}$  s'anomena polinomi associat de la matriu ${\displaystyle C}$ .^[5]

${\displaystyle C\mathbf {x} =\mathbf {b} ,}$ 

on ${\displaystyle C}$  és una matriu circulant de mida ${\displaystyle n}$ , podem escriure l'equació com la circumvolució circular$${\displaystyle \mathbf {c} \star \mathbf {x} =\mathbf {b} ,}$$ on ${\displaystyle \mathbf {c} }$  és la primera columna de ${\displaystyle C}$ , i els vectors ${\displaystyle \mathbf {c} }$ , ${\displaystyle \mathbf {x} }$  i ${\displaystyle \mathbf {b} }$  s'estenen cíclicament en cada sentit. Utilitzant el teorema de la convolució circular, podem utilitzar la transformada discreta de Fourier per transformar la convolució cíclica en una multiplicació per components.

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} \star \mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ){\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} )}$$ de manera que$${\displaystyle \mathbf {x} ={\mathcal {F}}_{n}^{-1}\left[\left({\frac {({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} ))_{\nu }}{({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ))_{\nu }}}\right)_{\!\nu \in \mathbb {Z} }\,\right]^{\rm {T}}.}$$ Aquest algorisme és molt més ràpid que l'eliminació de Gauss estàndard, especialment si s'utilitza una transformada de Fourier ràpida.

En teoria de grafs, un graf o dígraf la matriu d'adjacència del qual és circulant s'anomena graf/dígraf circulant. De manera equivalent, un gràfic és circulant si el seu grup d'automorfismes conté un cicle de longitud completa. Les escales de Möbius són exemples de gràfics circulants, com ho són els gràfics de Paley per a camps d'ordre primer.