Mecanisme de Kelvin-Helmholtz

Es va teoritzar que l'energia potencial gravitatòria de la contracció del Sol podria ser la seva font d'energia. Per calcular la quantitat total d'energia que s'alliberaria pel Sol en aquest mecanisme (suposant una densitat uniforme), s'aproxima a una esfera perfecta formada per capes concèntriques. L'energia potencial gravitatòria aleshores podria ser trobada com la integral sobre totes les petxines del centre al seu radi exterior.

L'energia potencial gravitatòria de la mecànica newtoniana es defineix com a:

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$ 

on G és la constant gravitacional, i les dues masses en aquest cas són la de les petxines fines d'ample dr, i la massa continguda dins un radi r com un que s'integra entre zero i el radi del total de l'esfera. Això dona:

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$ 

on R és el radi exterior de l'esfera, i m (r) és la massa continguda dins del radi r. Això dona: m(r) és la massa continguda en el radi r. Canviant m(r) en un producte de volum i densitat per satisfer la integral,

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$ 

Refosa en termes de la massa de l'esfera dona l'energia potencial gravitatòria total,

${\displaystyle U=-{\frac {3M^{2}G}{5R}}.}$ 

Llavors, aplicant el teorema de virial, la meitat d'aquesta energia s'irradia durant el col·lapse, donant a l'energia radiada total:

${\displaystyle U_{\text{r}}=-{\frac {3M^{2}G}{10R}}.}$ 

Si bé la densitat uniforme no és correcta, es pot obtenir un ordre aproximat de magnitud estimada de l'edat esperada de la nostra estrella on s'insereix valors coneguts per la massa i el radi del Sol, i després es divideix per la lluminositat coneguda del Sol (tingueu en compte que això implicarà una altra aproximació, ja que la potència de sortida del Sol no ha estat sempre constant):

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.9\times 10^{26}~{\text{W}}}}\approx 8\,900\,000~{\text{anys}},}$ 

on ${\displaystyle L_{\odot }}$  és la lluminositat del Sol. Encara que l'energia és suficient per a ser superior a la que generen altres mètodes físics, com l'energia química, era evident que aquest valor no és suficient causa de l'evidència geològica i biològica que l'edat de la Terra era de milers de milions d'anys. Finalment es va descobrir que l'energia termonuclear era la responsable de la producció d'energia i la llarga vida útil de les estrelles.^[3]