Integració per sèries

Si la funció ${\displaystyle f(x)}$  és desenvolupable en sèrie:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}}$ 

I la sèrie és uniformement convergent, llavors la funció ${\displaystyle F(x)}$  primitiva de ${\displaystyle f(x)}$  és desenvolupable en sèrie i el seu desenvolupament en sèrie és:

${\displaystyle F(x)=\int {f(x)=}\int {\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}}=\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{\int {C_{i}x^{i}}=}\left(\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{{\frac {C_{i}}{i+1}}x^{i+1}}\right)+C}$ 

On ${\displaystyle C}$  és una constant d'integració.

Una integral no elemental és una integral per a la qual es pot demostrar que no existeix cap fórmula en termes de funcions elementals (és a dir polinomis, funcions trigonomètriques, exponencials, logarítmiques i productes i composicions d'aquestes funcions). Tal és el cas de les quatre integrals estudiades per Joseph Liouville: la integral logaritme li(z), la integral sinus si(x), la integrals cosinus ci(x), i la funció error.

${\displaystyle li\left(z\right)=\int {{\frac {dz}{\log \left(z\right)}}=\int {\frac {e^{x}}{x}}}dx=\log x+x+{\frac {x^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{3}}{3!3}}+{\frac {x^{4}}{4!4}}+\ldots }$ 

${\displaystyle si(x)=\int {\frac {\sin(x)}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!3}}+{\frac {x^{5}}{5!5}}-{\frac {x^{7}}{7!7}}+\ldots }$ 

${\displaystyle ci(x)=\int {\frac {\cos(x)}{x}}dx=\log x-{\frac {x^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{4}}{4!4}}-{\frac {x^{6}}{6!6}}+\ldots }$ 

La funció error tret d'un factor constant.

${\displaystyle \int {e^{-x^{2}}}dx=x-{\frac {x^{3}}{1!3}}+{\frac {x^{5}}{2!5}}-{\frac {x^{7}}{3!7}}+\ldots }$ 

• Funcions elementals
• Integral no elemental
• Algorisme de Risch

• Enciclopèdia Espasa. Article sobre integració. Capítol I integrals indefinides. Apartat 6 Integració per sèries.