Identitat abeliana

Donada una equació diferencial ordinària lineal homogènia de segon ordre

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}y}{{\textrm {d}}x^{2}}}+P(x){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}+Q(x)\,y=0.}$ 

la identitat abeliana es pot escriure com a

${\displaystyle W(x)=W(0)\exp \left(-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)}$ 

on W(x) és el Wronskià de dues solucions linealment independents de l'equació diferencial.

Siguin y₁ i y₂ dues solucions linealment independents de l'equació diferencial

${\displaystyle y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,}$ 

Llavors el Wronskià d'aquestes dues funcions es defineix com a

${\displaystyle W(x)=y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}'.\,}$ 

Derivant s'obté

${\displaystyle W'(x)=y_{1}''y_{2}+y_{1}'y_{2}'-y_{1}'y_{2}'-y_{2}''y_{1}\,}$ 

${\displaystyle W'(x)=y_{1}''y_{2}-y_{1}y_{2}''.\,}$ 

Solucionant per ${\displaystyle y''}$  a l'equació diferencial original ens dona

${\displaystyle y''=-P(x)\,y'-Q(x)\,y.\,}$ 

i el resultat se substitueix al Wronskià:

${\displaystyle W'(x)=\left(-P(x)y_{1}'-Q(x)\,y_{1}\right)y_{2}-y_{1}\left(-P(x)y_{2}'-Q(x)\,y_{2}\right)\,}$ 

${\displaystyle W'(x)=-P(x)y_{1}'y_{2}-Q(x)y_{1}y_{2}+P(x)y_{1}y_{2}'+Q(x)y_{1}y_{2}\,}$ 

${\displaystyle W'(x)=-P(x)(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\,}$ 

${\displaystyle W'(x)=-P(x)\,W(x)}$ 

Això és una equació diferencial lineal de primer ordre.

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}W}{W}}=-P(x)\,{\textrm {d}}x\,}$ 

${\displaystyle \ln \left({\frac {W(x)}{W(0)}}\right)=-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \,}$ 

${\displaystyle W(x)=W(0)\exp \left(-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right).}$ 

• (anglès) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. Nova York: Wiley, 1986.

• (anglès) Eric W. Weisstein. "Abel's Differential Equation Identity." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html