Limes (matematika)

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ 

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ 

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x(|x-c|<\delta \ \implies \ |f(x)-L|<\varepsilon ).}$ 

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x₁, x₂, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ 

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n₀ takav da za svako n > n₀, vrijedi |x_n − L| < ε.

• ${\displaystyle \lim _{n\to c}S\cdot f(n)=S\cdot \lim _{n\to c}f(n)}$ , gdje je S skalarni množilac.
• ${\displaystyle \lim _{n\to c}b^{f(n)}=\displaystyle b^{\lim _{n\to c}f(n)}}$ , gdje je b konstanta.

Sljedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

• ${\displaystyle \lim _{n\to c}(f(n)+g(n))=\lim _{n\to c}f(n)+\lim _{n\to c}g(n)}$ 
• ${\displaystyle \lim _{n\to c}(f(n)-g(n))=\lim _{n\to c}f(n)-\lim _{n\to c}g(n)}$ 
• ${\displaystyle \lim _{n\to c}(f(n)\cdot g(n))=\lim _{n\to c}f(n)\cdot \lim _{n\to c}g(n)}$ 
• ${\displaystyle \lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}={\frac {\lim _{n\to c}f(n)}{\lim _{n\to c}g(n)}}}$ , ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(3n+2)+(2-3n)=4}$ , ali ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(3n+2)+\lim _{n\to \infty }(2-3n)}$  je nedefinisan.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}$ 

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

• ${\displaystyle \lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}=\lim _{n\to c}{\frac {f'(n)}{g'(n)}}}$ 

Na primjer:

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\frac {\sin(2n)}{\sin(3n)}}=\lim _{n\to 0}{\frac {2\cos(2n)}{3\cos(3n)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$ 

Kraći način zapisivanja granične vrijednosti ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$  je ${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i)}$ .

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{n}f(x)\;dx}$  je ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\;dx}$ .

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\int _{n}^{b}f(x)\;dx}$  je ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\;dx}$ .

• Jednostrana granična vrijednost
• Teorem stiska