Оператор (математика)

За оператора ${\displaystyle A:X\to Y}$  се казва, че той действа от множество ${\displaystyle X}$  към множество ${\displaystyle Y}$ . Операторът може да не е дефиниран навсякъде в ${\displaystyle X}$ ; тогава говорим за неговата област на дефиниция ${\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}$ . За ${\displaystyle x\in X}$  резултатът от оператора ${\displaystyle A}$  върху ${\displaystyle x}$  се означава с ${\displaystyle A(x)}$  или ${\displaystyle Ax}$ .

Ако ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle Y}$  са векторни пространства, то в множеството на всички оператори, преобразуващи ${\displaystyle X}$  в ${\displaystyle Y}$ , може да се разграничи класът на линейните оператори.

Ако ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle Y}$  са векторни топологични пространства, то в набора от оператори, преобразуващи ${\displaystyle X}$  в ${\displaystyle Y}$ , естествено се разграничава класът на непрекъснатите оператори, както и класът на линейно ограничените оператори и класът на линейните компактни оператори (наричани още напълно непрекъснати).

Класът на така наречените линейни оператори е основен за практиката. Той е и най-изследван. Пример за линеен оператор е операцията за умножение на ${\displaystyle n}$  -мерен вектор по матрица с размер ${\displaystyle n\times m}$ . Този оператор изобразява ${\displaystyle n}$  -мерното векторно пространство в ${\displaystyle m}$  -мерно.