متسلسلة متناسقة (رياضيات)

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

في الرياضيات، المتسلسلة المتناسقة (بالإنجليزية: Harmonic series)‏ هي المتسلسلة غير المنتهية المتباعدة التالية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {1}{n}}\;\;=\;\;1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots .\!}$.^[1][2][3]

أثبت نيكول أورسمه في القرن الرابع عشر تباعد هذه المتسلسلة، ولكن لم يؤخذ هذا الإثبات بالحسبان. ثم توالت الإثباتات في القرن السابع عشر بواسطة بييترو منغولي ويوهان بيرنولي وياكوب بيرنولي.

حصلت المستسلسة تاريخياً على اهتمام وشعبية في وسط المعماريين. وعلى وجه التحديد في عصر الباروك فقد استخدم المعماريون المتسلسة في نسب تقسيم الارضيات من المرتفعات وإلى إقامة علاقات توافقية بين كل من التفاصيل الداخلية والخارجية المعمارية للكنائس والقصور.

توجد العديد من البراهين على تباعد المتسلسلة المتناسقة. فيما يلي برهانان اثنان.

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{5}}\,+\,{\frac {1}{6}}\,+\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{9}}\,+\,\cdots \\[12pt]>\;\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]=\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;\cdots \;\;=\;\;\infty .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}\,{\frac {1}{n}}\;\geq \;1+{\frac {k}{2}}}$

هذا هو البرهان الأصيل الذي جاء به نيكول أورسمه قرابة عام 1530. اختبار التكثف لكوشي هو تعميم لهذه الحجة.

بالإمكان البرهان على تباعد المتسلسة المتناسقة بمقارنة مجموعها بتكامل معتل محدد.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

تُعرف هذه المتسلسة باسم المتسلسلة المتناسقة المتناوبة. وهي متقاربة إلى اللوغاريتم الطبيعي لاثنين

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$

تُعرف دالة زيتا لريمان حين يتوفر ${\displaystyle x>1}$ حيث ${\displaystyle x}$ عدد حقيقي، بالمتسلسلة المتقاربة التالية

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots }$$ حين يتوفر ${\displaystyle x=1}$ تصير هذه الدالة مساوية للمتسلسة المتناسقة.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

حيث s_n هن متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض موزعة بشكل منتظم. انظر إلى أندريه كولموغوروف وأعماله.

• لوغارتم عقدي,

هذه بذرة مقالة عن موضوع علمي بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.