قاطع خارجي

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب المثلثات
مفاهيم رئيسة التاريخ الاستعمالات الدّوال الدوال العكسية حساب مثلثات معممة حساب المثلثات الكروية
أدوات مرجعية المتطابقات القيم الدقيقة للثوابت الجداول دائرة الوحدة
قواعد وقوانين الجيوب جيوب التمام الظّلال ظلال التمام مبرهنة فيثاغورس
تفاضل وتكامل تعويضات مثلثية التكاملات تكاملات الدوال العكسية المشتقات
بوابة رياضيات
ع ن ت

إن دالتي القاطع الخارجي (exsec أو exs) وقاطع التمام الخارجي (excosec أو excsc أو exc) هي دالتان مثلثيتان معرفتان بدلالة دالتي القاطع وقاطع التمام . استعملت لتكون مهمة في مجالات مثل مسح الأراضي وهندسة السكك الحديدية والهندسة المدنية وعلم الفلك وحساب المثلثات الكروية ويمكن أن تساعد في تحسين الدقة، ولكن نادرًا ما تستخدم اليوم باستثناء تبسيط بعض الحسابات.

القاطع الخارجي: دالة مثلثية تعرف بدلالة دالة القاطع: $${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$$يمكن فهم الاسم القاطع الخارجي من خلال الإنشاء البياني للدوال المثلثية المختلفة من دائرة الوحدة، مثل التي تم استخدامها تاريخيًا. sec ( θ ) هو المستقيم القاطع OE، والقاطع الخارجي هو القطعة المستقيمة DE من هذا القاطع الذي يقع خارج الدائرة (بادئة ex ذات أصل لاتيني وتعني "خارج").

قاطع التمام الخارجي هي قاطع الزاوية المتممة: $${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$$

مهمة في مجالات مثل مسح الأراضي، هندسة السكك الحديدية (على سبيل المثال لرسم منحنيات سكك الحديد والمميل)، والهندسة المدنية، وعلم الفلك، وحساب المثلثات الكروية حتى الثمانينيات، أصبحت دالة القاطع الخارجي الآن قليلة الاستخدام. ويرجع ذلك أساسًا إلى أن التوافر الواسع للآلات الحاسبة والحواسيب قد أزال الحاجة إلى الجداول المثلثية للدوال المتخصصة مثل هذه الدالة.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

الدالتان العكسيتان قوس القاطع الخارجي و قوس قاطع التمام الخارجي موجودة أيضًا:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$ (من أجل y ≤ −2 أو y ≥ 0)

$${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}$$

مشتقة من دائرة الوحدة:$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$$$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$$ترتبط دالة القاطع الخارجي بدالة الظل بـ:$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$بالمماثلة، ترتبط دالة قاطع التمام الخارجي بدالة ظل التمام بـ:$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$ترتبط دالة القاطع الخارجي بدالة الجيب بـ:$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$$بالمماثلة، ترتبط دالة قاطع التمام الخارجي بدالة جيب التمام بـ:$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$$يمكن تمديد دالتي القاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي إلى المستوى العقدي.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[1]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[1]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[1]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[1]