مبرهنة الفردية

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}}$ 

حيث

${\displaystyle \varphi }$  هو الجهد الكهربائي .

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi }$  هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما ${\displaystyle \varphi _{1}}$  و ${\displaystyle \varphi _{2}}$  , و ${\displaystyle \phi }$  هو الفرق بين قيمة الحلين ${\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$  .

وبما أن ${\displaystyle \varphi _{1}}$  و ${\displaystyle \varphi _{2}}$  تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها ${\displaystyle \phi }$  .

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0}$ 

وباستخدام التعريف

${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )}$ 

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}}$ 

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$ 

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$ 

حيث

${\displaystyle S_{i}}$  هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

${\displaystyle \epsilon >0}$  و ${\displaystyle (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\geq 0}$ 

إذا

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi }$  يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$  .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0}$ 

بشرط أن يكون :

1. ${\displaystyle \varphi }$  معرفة على كل حدود السطح، وتكون ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$  , وبالتالي تصبح ${\displaystyle \phi =0}$  .
2. ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$  معرفة على كل حدود السطح، وتكون ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$  , وبالتالي تصبح ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi =0}$  .
3. أن تحقق ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$  قانون جاوس

• معادلة بواسون
• قانون جاوس
• قانون كولوم
• توافقات كروية
• سيمنز (وحدة)
• مطاوعة كهربائية