تمت تسمية دالة لامبرت W على اسم عالم الرياضيات يوهان هاينريش لامبرت.
في بعض الأحيان الفرع الرئيسي يرمز له أيضًا بـ والفرع يرمز له أيضًا بـ .
في بعض الأحيان تسمى الدالة أيضًا " لوغاريتم المضروب" (product logarithm) لأنه إذا كانت الدالة العكسية لـ تسمى اللوغاريتم، لذا فمن المنطقي تسمية الدالة العكسية للمضروب بالاسم "لوغاريتم المضروب"
في الفرع الرئيسي سوف نتلقى .
وفقا لطريقة إيجاد مشتقة دالة مغلقة، يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع فروع توجد معادلة تفاضلية عادية:
-
( ليست قابلة للاشتقاق لـ ) ولذلك، نحصل على الصيغة التالية:
-
وباستخدام المتطابِقَة نحصل على التالي:
-
في الفرع الرئيسي سوف نحصل على .
يمكن تكامل الدالة والعديد من الدوال الأخرى التي تحتوي على الدالة W فيها باستخدام التكامل من خلال طريقة التعويض:
-
المعادلة الثانية هي الأكثر استخداما، ولكنها غير معرفة لـ .
إذا استخدمنا أن سنحصل على:
-
هناك بعض التكاملات المحدودة المفيدة للفرع الرئيسي من الدالة W للامبرت. مثل:
-
-
-
يمكن إيجاد المعادلة الأولى عن طريق كتابة التكامل الغوسي في الإحداثيات القطبية.
ويمكن إيجاد المعادلة الثانية باستخدام التعويض ، فيمكنك أيضًا:
-
-
-
المعادلة الثالثة تنبع من المعادلة الثانية مع تعويض وبالإضافة إلى ذلك فإن المعادلة الأولى تنبع أيضاً من المعادلة الثالثة بتعويض .